有這麼一個數學定理，雖然很直觀，卻偏偏容易被忽略。然而它卻又是一個非常好用的定理。這個定理簡單說起來，就一句話：函數唯一的極值是最值。
之所以容易被忽略，是因為當我們學到最值的一般判定方法時，教材上提供的方法是：通過比較端點、不可導點，穩定點的函數大小，來确定函數的最值。因此很多同學，包括老黃自己在内，一開始都會傻傻地按照這個信條去解決最值問題。
特别是自作聰明的老黃，會在開區間的端點上糾結極限問題。其實在函數隻有一個極值點時，大可不必糾結端點的極限問題。
我們先來看看這個定理的數學表達形式，并進行證明：
5、設f(x)在區間I連續，并且在I有唯一的極值點x0.
若x0是f的極大(小)值點，則x0是f(x)在I上的最大(小)值點.
老黃覺得這裡的“連續”，并不是一個必要條件。去掉“連續”的條件，命題仍是成立的。
證1：∵f在I連續，∴若x0是f在I唯一的極大值點，
則對任意的x∈I有f(x)<f(x0), ∴x0是f在I上的最大值點.
同理可證：若x0是f在I唯一的極小值點，則x0是f在I上的最小值點.
證2：若x0是f在I唯一的極(小)值點，卻不是最小值點，
則必存在x1∈I，有f(x1)<f(x0)，矛盾！
∴x0是f在I上的最小值點. 同理可證：
若x0是f在I唯一的極大值點，則x0是f在I上的最大值點.
我們來看看這個定理到底怎麼用。看下面的例題：
例：求函數y=根号x*lnx, (0, ∞)上的最值.
解：y在(0, ∞)上可導，【排除不可導點的存在】
當y’=(2 lnx)根号x/(2x)=0時，x=1/e^2，【唯一的穩定點】
又當0<x<1/e^2時，y'<0; 當x>1/e^2時，y'>0.【用極值的第一充分條件，證明x=1/e^2是函數的極小值點】
所以x=1/e^2是函數唯一的極值點，且是唯一的極小值點，
因此y=-2/e是函數的最小值。
又函數在開區間上，所以y在(0, ∞)上沒有最大值。
觀察一下函數在(0, ∞)上的大緻圖像，以幫助我們理解：
怎麼樣？現在您對求函數最值的方法，是否有更深的理解了呢？
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