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二次函數課程大綱

生活 更新时间:2025-01-25 14:21:38

用待定系數法求二次函數的解析式

【學習目标】

1. 能用待定系數法列方程組求二次函數的解析式;

2. 經曆探索由已知條件特點,靈活選擇二次函數三種形式的過程,正确求出二次函數的解析式,

二次函數三種形式是可以互相轉化的.

【知識點梳理】

1、用待定系數法求二次函數解析式

二次函數解析式常見有以下幾種形式

(1)一般式:

二次函數課程大綱(二次函數講義三)1

(2)頂點式:

二次函數課程大綱(二次函數講義三)2

(3)交點式:

二次函數課程大綱(二次函數講義三)3

确定二次函數解析式常用待定系數法,用待定系數法求二次函數解析式的步驟如下:

第一步,

設:先設出二次函數的解析式,

如 y = ax2 bx c 或 y = a(x - h)2 k 或 y = a(x - x1)(x - x2),其中 a ≠ 0;

第二步,

代:根據題中所給條件,代入二次函數的解析式中,得到關于解析式中待定系數的方程(組);

第三步,

解:解此方程或方程組,求待定系數;

第四步,

還原:将求出的待定系數還原到解析式中.

注:

在設函數的解析式時,一定要根據題中所給條件選擇合适的形式:

當已知抛物線上的三點坐标時,可設函數的解析式為 y = ax2 bx c ;

當已知抛物線的頂點坐标或對稱軸或最大值、最小值時.

可設函數的解析式為 y = a(x - h)2 k;

當已知抛物線與x軸的兩個交點 ( x1,0 ),( x2,0 )時,

可設函數的解析式為 y = a(x - x1)(x - x2).

【典型例題】

類型一、用待定系數法求二次函數解析式

【例題1】已知抛物線 y = ax2 bx c (a ≠ 0) 經過 A,B,C 三點,當時 x ≥ 0 時,

其圖象如圖1所示 . 求抛物線的解析式,寫出頂點坐标 .

二次函數課程大綱(二次函數講義三)4

【答案與解析】

二次函數課程大綱(二次函數講義三)5

注:

這道題的一個特點是題中沒有直接給出所求抛物線經過的點的坐标,需要從圖象中獲取信息.

已知圖象上三個點時,通常應用二次函數的一般式列方程求解析式.

要特别注意:如果這道題是求 “圖象所表示的函數解析式”,那就必須加上自變量的取值範圍 x ≥ 0 .

【例題2】一條抛物線 y = 1/4 x2 mx n 經過點 (0 , 3/2)與 (4 , 3/2).

求這條抛物線的解析式 .

【答案與解析】

二次函數課程大綱(二次函數講義三)6

注:

解析式中的 a 值已經知道,隻需求出 m , n 的值 .

已知條件給出了兩個點 , 因此可以從二次函數的一般式入手列方程組解答 .

還可以從所給兩點(0 , 3/2)與 (4 , 3/2)的特征入手:

這兩點關于抛物線的對稱軸對稱,因此可知對稱軸是直線 x = 2,這樣又可以從抛物線的頂點式入手.

當點 M(x1, y1)和 N(x2 , y2)都是抛物線上的點時,

若 y1 = y2,則對稱軸方程為 x = 1/2(x1 x2),這一點很重要也很有用.

【例題3】已知抛物線 y = ax2 bx c (a ≠ 0) 的頂點坐标為(-1,4),

與 x 軸兩交點間的距離為 6,求此抛物線的函數關系式 .

【答案與解析】

因為頂點坐标為(-1,4),所以對稱軸為 x = -1,

又因為抛物線與 x 軸兩交點的距離為 6,

所以兩交點的橫坐标分别為:x1 = -1 - 3 ,x2 = -1 3, 則兩交點的坐标為(-4,0)、(2,0);

求函數的函數關系式可有兩種方法:

二次函數課程大綱(二次函數講義三)7

注:在求函數的解析式時,要根據題中所給條件選擇合适的形式.

類型二用待定系數法解題

【例題4】已知二次函數的圖象如圖所示,根據圖中的數據,

(1)求二次函數的解析式;

(2)設此二次函數的頂點為 P,求 △ABP 的面積.

二次函數課程大綱(二次函數講義三)8

【答案與解析】

二次函數課程大綱(二次函數講義三)9

二次函數課程大綱(二次函數講義三)10

注:

此題主要考查二次函數圖象的性質,對稱軸及頂點坐标,

另外巧妙設函數的解析式,從而來減少計算量.

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