用待定系數法求二次函數的解析式
【學習目标】
1. 能用待定系數法列方程組求二次函數的解析式;
2. 經曆探索由已知條件特點,靈活選擇二次函數三種形式的過程,正确求出二次函數的解析式,
二次函數三種形式是可以互相轉化的.
【知識點梳理】
1、用待定系數法求二次函數解析式
① 二次函數解析式常見有以下幾種形式 :
(1)一般式:
(2)頂點式:
(3)交點式:
② 确定二次函數解析式常用待定系數法,用待定系數法求二次函數解析式的步驟如下:
第一步,
設:先設出二次函數的解析式,
如 y = ax2 bx c 或 y = a(x - h)2 k 或 y = a(x - x1)(x - x2),其中 a ≠ 0;
第二步,
代:根據題中所給條件,代入二次函數的解析式中,得到關于解析式中待定系數的方程(組);
第三步,
解:解此方程或方程組,求待定系數;
第四步,
還原:将求出的待定系數還原到解析式中.
注:
在設函數的解析式時,一定要根據題中所給條件選擇合适的形式:
① 當已知抛物線上的三點坐标時,可設函數的解析式為 y = ax2 bx c ;
② 當已知抛物線的頂點坐标或對稱軸或最大值、最小值時.
可設函數的解析式為 y = a(x - h)2 k;
③ 當已知抛物線與x軸的兩個交點 ( x1,0 ),( x2,0 )時,
可設函數的解析式為 y = a(x - x1)(x - x2).
【典型例題】
類型一、用待定系數法求二次函數解析式
【例題1】已知抛物線 y = ax2 bx c (a ≠ 0) 經過 A,B,C 三點,當時 x ≥ 0 時,
其圖象如圖1所示 . 求抛物線的解析式,寫出頂點坐标 .
【答案與解析】
注:
這道題的一個特點是題中沒有直接給出所求抛物線經過的點的坐标,需要從圖象中獲取信息.
已知圖象上三個點時,通常應用二次函數的一般式列方程求解析式.
要特别注意:如果這道題是求 “圖象所表示的函數解析式”,那就必須加上自變量的取值範圍 x ≥ 0 .
【例題2】一條抛物線 y = 1/4 x2 mx n 經過點 (0 , 3/2)與 (4 , 3/2).
求這條抛物線的解析式 .
【答案與解析】
注:
解析式中的 a 值已經知道,隻需求出 m , n 的值 .
已知條件給出了兩個點 , 因此可以從二次函數的一般式入手列方程組解答 .
還可以從所給兩點(0 , 3/2)與 (4 , 3/2)的特征入手:
這兩點關于抛物線的對稱軸對稱,因此可知對稱軸是直線 x = 2,這樣又可以從抛物線的頂點式入手.
當點 M(x1, y1)和 N(x2 , y2)都是抛物線上的點時,
若 y1 = y2,則對稱軸方程為 x = 1/2(x1 x2),這一點很重要也很有用.
【例題3】已知抛物線 y = ax2 bx c (a ≠ 0) 的頂點坐标為(-1,4),
與 x 軸兩交點間的距離為 6,求此抛物線的函數關系式 .
【答案與解析】
因為頂點坐标為(-1,4),所以對稱軸為 x = -1,
又因為抛物線與 x 軸兩交點的距離為 6,
所以兩交點的橫坐标分别為:x1 = -1 - 3 ,x2 = -1 3, 則兩交點的坐标為(-4,0)、(2,0);
求函數的函數關系式可有兩種方法:
注:在求函數的解析式時,要根據題中所給條件選擇合适的形式.
類型二、用待定系數法解題
【例題4】已知二次函數的圖象如圖所示,根據圖中的數據,
(1)求二次函數的解析式;
(2)設此二次函數的頂點為 P,求 △ABP 的面積.
【答案與解析】
注:
此題主要考查二次函數圖象的性質,對稱軸及頂點坐标,
另外巧妙設函數的解析式,從而來減少計算量.
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