開學已經有幾天了，新的第一章知識掌握的怎麼樣了呢？這一單元主要是概念和性質定理一定要理解清楚，可以在這篇文章梳理一下，一定能幫到你！

一、相交線

1.鄰補角與對頂角

兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關系的角，它們的概念及性質如下表：

注意點：

⑴對頂角是成對出現的，對頂角是具有特殊位置關系的兩個角；

⑵如果∠α與∠β是對頂角，那麼一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那麼∠α與∠β不一定是對頂角

⑶如果∠α與∠β互為鄰補角，則一定有∠α ∠β=180°；反之如果∠α ∠β=180°， 則∠α與∠β不一定是鄰補角。

⑵垂線性質 1：過一點有且隻有一條直線與已知直線垂直 (與平行公理相比較記)

⑶垂線性質 2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。

3.垂線的畫法：

⑴過直線上一點畫已知直線的垂線；

⑵過直線外一點畫已知直線的垂線。

注意：①畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線；②過一點作線段的垂線，垂足可在線段上，也可以在線段的延長線上。

畫法：⑴一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線上，⑵二移：移動三角尺使一點落在它的 另一邊直角邊上，⑶三畫：沿着這條直角邊畫線，不要畫成給人的印象是線段的線。

4.點到直線的距離

直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。應該結合圖形進行記憶。

如圖，PO⊥AB，同 P 到直線 AB 的距離是 PO 的長。PO 是垂線段。PO 是點 P 到直線 AB所有線段中最短的一條。 現實生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質的應用。

5.如何理解“垂線”、“垂線段”、“兩點間距離”、“點到直線的距離”這些相近而又相異的概念。分析它們的聯系與區别。

⑴垂線與垂線段

區别：垂線是一條直線，不可度量長度；垂線段是一條線段，可以度量 長度。

具有垂直于已知直線的共同特征。(垂直的性質)

⑵兩點間距離與點到直線的距離

區别：兩點間的距離是點與點之間，點到直線的距離 是點與直線之間。

都是線段的長度；點到直線的距離是特殊的兩點(即已知點與 垂足)間距離。

⑶線段與距離

距離是線段的長度，是一個量；線段是一種圖形，它們之間不能等同。

二、平行線

1.平行線的概念：

在同一平面内，不相交的兩條直線叫做平行線，直線 a 與直線b 互相平行，記作 a ∥b 。

2.兩條直線的位置關系

在同一平面内，兩條直線的位置關系隻有兩種：⑴相交；⑵平行。

因此當我們得知在同一平面内兩直線不相交時，就可以肯定它們平行；反過來也一樣（這裡，我們把重合的兩直線看成一條直線） 判斷同一平面内兩直線的位置關系時，可以根據它們的公共點的個數來确定：

①有且隻有一個公共點，兩直線相交；

②無公共點，則兩直線平行；

③兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合（因為兩點确定一條直線）

3.平行公理

平行線的存在性與惟一性 經過直線外一點，有且隻有一條直線與這條直線平行。

4.平行公理的推論

如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行。

如左圖所示，∵b ∥ a ， c ∥ a

∴b ∥ c

注意符号語言書寫，前提條件是兩直線都平行于第三條直線，才能得出結論，這兩條直線都平行。

5.三線八角

兩條直線被第三條直線所截形成八個角，它們構成了同位角、内錯角與同旁内角。

如圖，直線 a, b 被直線 l 所截。

①∠1 與∠5 在截線l 的同側，同在被截直線 a, b 的上方， 叫做同位角（位置相同）

②∠5 與∠3 在截線l 的兩旁（交錯），在被截直線 a, b 之間（内），叫做内錯角（位置在内且交錯）

③∠5 與∠4 在截線l 的同側，在被截直線 a, b 之間（内），叫做同旁内角。

④三線八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；内錯角是“Z”型；同旁内角是“U” 型。

6.如何判别三線八角

判别同位角、内錯角或同旁内角的關鍵是找到構成這兩個角的“三線”，有時需要将有關的部分“抽出”或把無關的線略去不看，有時又需要把圖形補全。

例如：

如圖，判斷下列各對角的位置關系：⑴∠1 與∠2；⑵∠1 與∠7；⑶∠1 與∠BAD；⑷∠2與∠6；⑸∠5 與∠8。

我們将各對角從圖形中抽出來（或者說略去與有關角無關的線），得到下列各圖。 如圖所示，不難看出∠1 與∠2 是同旁内角；∠1 與∠7 是同位角；∠1 與∠BAD 是同旁内角；∠2 與∠6 是内錯角；∠5 與∠8 對頂角。

7.兩直線平行的判定方法

方法一 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼這兩條直線平行

簡稱：同位角相等，兩直線平行

方法二 兩條直線被第三條直線所截，如果内錯角相等，那麼這兩條直線平行

簡稱：内錯角相等，兩直線平行

方法三 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁内角互補，那麼這兩條直線平行

簡稱：同旁内角互補，兩直線平行

幾何符号語言：

∵ ∠3＝∠2

∴ AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）

∵ ∠1＝∠2

∴ AB∥CD（内錯角相等，兩直線平行）

∵ ∠4＋∠2＝180°

∴ AB∥CD（同旁内角互補，兩直線平行）

請注意書寫的順序以及前因後果，平行線的判定是由角相等，然後得出平行。平行線的判定是寫角相等，然後寫平行。

注意：⑴幾何中，圖形之間的“位置關系”一般都與某種“數量關系”有着内在的聯系，常由“位置關系”決定其“數量關系”，反之也可從“數量關系”去确定“位置關系”。上述平行線的判定方法就是根據同位角或内錯角“相等”或同旁内角“互補”這種“數量關系”， 判定兩直線“平行”這種“位置關系”。

⑵根據平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有兩種：①如果兩條直線 沒有交點（不相交），那麼兩直線平行。②如果兩條直線都平行于第三條直線，那麼這兩條 直線平行。

典型例題：判斷下列說法是否正确，如果不正确，請給予改正：

⑴不相交的兩條直線必定平行線。

⑵在同一平面内不相重合的兩條直線，如果它們不平行，那麼這兩條直線一定相交。

⑶過一點可以且隻可以畫一條直線與已知直線平行

解答：⑴錯誤，平行線是“在同一平面内不相交的兩條直線”。“在同一平面内”是一項重要 條件，不能遺漏。

⑵正确

⑶不正确，正确的說法是“過直線外一點”而不是“過一點”。因為如果這一點不在 已知直線上，是作不出這條直線的平行線的。

典型例題：如圖，根據下列條件，可以判定哪兩條直線平行，并說明判定的根據是什麼？

解答：⑴由∠2＝∠B 可判定 AB∥DE，根據是同位角相等，兩直線平行；

⑵由∠1＝∠D 可判定 AC∥DF，根據是内錯角相等，兩直線平行；

⑶由∠3＋∠F＝180°可判定 AC∥DF，根據同旁内角互補，兩直線平行。

三、平行線的性質

1.平行線的性質：

性質 1：兩直線平行，同位角相等；

性質 2：兩直線平行，内錯角相等；

性質 3：兩直線平行，同旁内角互補。

幾何符号語言：

∵AB∥CD

∴∠1＝∠2（兩直線平行，内錯角相等）

∵AB∥CD

∴∠3＝∠2（兩直線平行，同位角相等）

∵AB∥CD

∴∠4＋∠2＝180°（兩直線平行，同旁内角互補）

2.兩條平行線的距離

如圖，直線 AB∥CD，EF⊥AB 于 E，EF⊥CD 于 F，則稱線段 EF 的長度為兩平行線 AB與 CD 間的距離。

注意：直線 AB∥CD，在直線 AB 上任取一點 G，過點 G 作 CD 的垂線段 GH，則垂線段

GH 的長度也就是直線 AB 與 CD 間的距離。

3.命題：

⑴命題的概念： 判斷一件事情的語句，叫做命題。

⑵命題的組成：每個命題都是題設、結論兩部分組成。題設是已知事項；結論是由已知事項推出的事項。 命題常寫成“如果……，那麼……”的形式。具有這種形式的命題中，用“如果”開始的部分是題設，用“那麼”開始的部分是結論。

有些命題，沒有寫成“如果……，那麼……”的形式，題設和結論不明顯。對于這樣的命題，要經過分析才能找出題設和結論，也可以将它們改寫成“如果……，那麼……”的形式。

注意：命題的題設（條件）部分，有時也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命 題的結論部分，有時也可用“求證……”或“則……”等形式表述。

4.平行線的性質與判定

①平行線的性質與判定是互逆的關系

兩直線平行=同位角相等；

兩直線平行=内錯角相等；

兩直線平行=同旁内角互補。

其中，由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質。

典型例題：已知∠1＝∠B，求證：∠2＝∠C

證明：∵∠1＝∠B（已知）

∴DE∥BC（同位角相等， 兩直線平行） D

∴∠2＝∠C（兩直線平行 同位角相等）

注意，在了 DE∥BC，不需要再寫一次了，得到了 DE∥BC，這可以把它當作條件來用了。

典型例題：如圖，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65° 求∠2、∠3 的度數。

解答：∵DE∥BC（已知）

∴∠2＝∠1＝65°（兩直線平行，内錯角相等）

∵AB∥DF（已知）

∴AB∥DF（已知）

∴∠3＋∠2＝180°（兩直線平行，同旁内角互補）

∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°

四、平移

1.平移變換

①把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小 完全相同。

②新圖形的每一點，都是由原圖形中的某一點移動後得到的，這兩個點是對應點

③連接各組對應點的線段平行且相等

2.平移的特征：

①經過平移之後的圖形與原來的圖形的對應線段平行（或在同一直線上）且相等，對應角 相等，圖形的形狀與大小都沒有發生變化。

②經過平移後，對應點所連的線段平行（或在同一直線上）且相等。

典型例題：如圖，△ABC 經過平移之後成為△DEF，那麼：

⑴點 A 的對應點是點＿＿＿＿＿＿＿＿＿；⑵點 B 的對應點是點＿＿＿＿＿＿。

⑶點＿＿＿＿＿的對應點是點 F；⑷線段 AB 的對應線段是線段＿＿＿＿＿＿＿；

⑸線段 BC 的對應線段是線段＿＿＿＿＿＿＿；⑹∠A 的對應角是＿＿＿＿＿＿。

⑺＿＿＿＿的對應角是∠F。

解答：

⑴D；⑵E；⑶C；⑷DE；⑸EF；⑹∠D；⑺∠ACB。 思維方式：利用平移特征：平移前後對應線段相等，對應點的連線段平行或在同一直線上解答。

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