在求極限時，等階無窮小替換和洛必達法則是我們最常用的方法中的兩個。有時候把兩者結合起來，會使極限問題求解變得更加簡便。下面老黃以一個求極限的實例，介紹兩種方法，讓大家感受無窮小替換結合洛必達法則的魔力。

求極限：lim(x->0)(e^x (1 2x)^(1/2))/ln(1 x^2).

分析：這是一個0/0型的不定式極限，它滿足洛必達法則，即分子分母都是無窮小量，兩個函數都可導，在x不等于0時，分母的導數也不等于0，兩個函數分别求導之後，極限存在，當然這是需要求出來的。

因此我們可以對這個極限運用洛必達法則。當然，我們可以選擇直接運用洛必達法則，也可以選擇先應用等階無窮小替換，把極限化得比較簡單一點，然後再運用洛必達法則。接下來老黃就分别用這兩種方法，求這個極限。大家可以感受一下，它們的不同。

解法一：【直接運用洛必達法則，分子的導數是e^x-(1 2x)^(-1/2), 分母的導數等于2x/(1 x^2)，因此】。

原極限=lim(x->0)[e^x-(1 2x)^(-1/2)]/[2x/(1 x^2)]=lim(x->0)[e^x-(1 2x)^(-1/2)](1 x^2)/2x

【得到的極限仍是0/0型不定極限，且同樣滿足洛必達法則，因此可以繼續運用洛必達法則，但是顯然分子求導變得特别複雜。最後的結果是】

=lim(x->0){[e^x (1 2x)^(-3/2)](1 x^2) 2x[e^x-(1 2x)^(-1/2)]}/2

【雖然結果很複雜，所幸分母已經化為最簡的數字2，分子也是一個在x=0連續的函數，隻要将x=0代入，就可以求得】

原極限=1.

解法二：【先根據ln(1 x^2)與x^2是等階無窮小，進行替換，就可以得到】

原極限=lim(x->0)(e^x (1 2x)^(1/2))/x^2

【這也是一個0/0型的不定式極限，且符合洛必達法則的所有條件，所以可以運用洛必達法則，對分子分母同時求導，分子的導數上面已經求出來了，分子的導數是2x，因此】

=lim(x->0)[e^x-(1 2x)^(-1/2)]/(2x)

【雖然這個結果也并非特别簡單，但第二次運用洛必達法則，就要比解法一簡便得多，得到】

=lim(x->0)[e^x (1 2x)^(-3/2)]/2

【分子也是一個在x=0連續的函數，所以将x=0直接代入，同樣得到】

lim(x->0)(e^x (1 2x)^(1/2))/ln(1 x^2)=1.

說明：e^x (1 2x)^(1/2)和ln(1 x^2)，以及x^2都是等階無窮小量。

怎麼樣，你體會到等階無窮小替換與洛必達法則結合運用求極限的魔力了嗎？

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