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兩個平面的夾角定義

圖文更新时间:2025-02-23 19:17:33

兩個平面的夾角的計算

在三維幾何中，位置向量用來表示一個點相對于原點的位置或方位。正如我們所知，平面是一個由并排的線條堆疊而成的三維物體。一個三維空間可以有無數個平面以無數個角度彼此對齊。在本文中，我們将推導出一個計算三維空間中兩個平面間夾角的一般公式。

兩個平面的夾角定義（兩個平面夾角的計算）1

如何計算兩個平面的夾角?

兩個平面之間的夾角一般是根據其法線之間的夾角來計算的。換句話說，兩個平面的法線夾角就是兩個平面之間的夾角。這一點可以從下圖中很清楚地理解:

兩個平面的夾角定義（兩個平面夾角的計算）2

設n1和n2是垂直于彼此以θ角度對齊的平面的兩個向量。

兩個平面的方程可表達為:

r.n1 = d1r.n2 = d2

由上圖可知，兩個平面之間的夾角等于兩個平面法線之間的夾角，因此，

兩個平面的夾角定義（兩個平面夾角的計算）3

在直角坐标平面計算兩個平面的夾角

A1 x B1 y C1z D1 = 0和A2x B2y C2 z D2 = 0是成一個θ角度的兩個平面方程。顯然A1, B1, C1和A2, B2, C2各自平面的方向法向量比, 那麼根據兩個平面之間的夾角的餘弦值有公式:

兩個平面的夾角定義（兩個平面夾角的計算）4

兩個平面夾角的示例：

問題: 計算平面 2x 4y – 2z = 5 和平面6x – 8y – 2z = 14的夾角。

解答: 如上所述，兩個平面之間的夾角等于它們的法線之間的夾角。上面平面的法向量用:

n1= 2i 4j–2kn2= 6i–8j–2k

兩個平面的夾角定義（兩個平面夾角的計算）5

兩個平面的夾角定義（兩個平面夾角的計算）6

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