數列規律的探索是中考命題的熱點，其探索目标就是尋找答案數an與序号n之間的關系，當這種關系一時難于發現時，隻需要将已知的答案數an加、減、乘、除一個适當的數，所尋找的規律便可躍然紙上，自然出現.

一、加上一個數

例1（2021·黑龍江綏化）下面各圖形是由大小相同的三角形擺放而成的，圖①中有1個三角形，圖②中有5個三角形，圖③中有11個三角形，圖④中有19個三角形…，依此規律，則第n個圖形中三角形個數是_______．

【解析】前四個圖形的答案數分别是：1，5，11，19，

把它們都加上1，得：

2，6，12，20，

這些數都是連續兩個整數的積，容易發現第n個數是n(n 1)，

再把結果減去1即可得：第n個圖形中三角形個數是n(n 1)-1.

例2（2021·廣西玉林）觀察下列樹枝分杈的規律圖，若第n個圖樹枝數用Yn表示，則Y9-Y4=（ ）

A．15×24 B．31×24

C．33×24 D．63×24

【解析】觀察前幾個圖形中的樹枝數：1，3，7，15，…，

先把它們加上1，得：2，4，8，16，…

容易發現這些數都是2為底的幂，

即：2=21，4=22，8=23，16=24，…

所以第n個數是2n，

因此，Yn=2n-1，

所以Y9-Y4=（29-1）-（24-1）

=29-24=（25-1）×24=31×24，

故選B.

例3（2021·湖北）根據圖中數字的規律，若第n個圖中的q=143，則p的值為（ ）

A．100 B．121

C．144 D．169

【解析】觀察圖中p，q，n之間的關系，容易發現：p=n2，接下來觀察q與n的關系，即觀察3，8，15，…這些數的規律，

先把每個數加上1，得：4，9，16，…，

容易發現這些數都是完全平方數，即：

4=(1 1)2，9=(2 1)2，16=(3 1)2，…，

所以第n個數是(n 1)2，再減去1就是圖中q的結果，

即圖中q=(n 1)2-1，

經探索容易發現：當n=11時，

q=(n 1)2-1=143，

所以p=n2=112=121，故選B.

二、減去一個數

例4（2021·内蒙古鄂爾多斯）将一些相同的“〇”按如圖所示的規律依次擺放，觀察每個“龜圖”的“〇”的個數，則第30個“龜圖”中有___________個“〇”．

【解析】前4個圖形中“〇”的個數分别是：5，7，11，17，

把它們都減去5，得：0，2，6，12，

容易發現這些都是連續兩個整數的積，第n個數是：n(n-1)，

再把結果加上5，即可得第n個“龜圖”中有“〇”的個數為

n(n-1) 5，.

當n=30時，

n(n-1) 5=30×29 5=875，

即第30個“龜圖”中有875個“〇”．

例5 已知一列數：6，7，10，15，22，31，42，…，問：2022在這列數中嗎？如果在，請指出是第幾個數？如果不存在，請指出在這列數中與2022最接近的數是第幾個？它是多少？

【解析】先把每個數減去6，得：

0，1，4，9，16，25，36，…

容易發現這些數都是完全平方數，第n個數是(n-1)2，

所以這列數的第n個數是(n-1)2 6，

當n=45時，(n-1)2 6=1942<2022，

當n=46時，(n-1)2 6=2031>2022，

所以2022不在這列數中，在這列數中與2022最接近的是第46個數，它是2031..

三、乘以一個數

例6（2021·湖北荊門）如圖，将正整數按此規律排列成數表，則2021是表中第____行第________列．

【

解析】先觀察第n行第n列的數，前幾個是：

1，3，6，10，15，

把它們乘以2，得：

2，6，12，20，30，

容易發現這些數是兩個連續整數的積，

第n個數是：n(n 1)，

再把結果除以2，

即可得數表中第n行第n列的數是(n 1)n/2，

當n=63時，

n(n 1)=2016，所以第63行第63列的數是2016，

所以第64行第1列的數是2017，第2列的數是2018，…第5列的數是2021，

所以2021在第64行第5列.

例7（2021·湖南湘西土家族苗族自治州）古希臘數學家把1，3，6，10，15，21，…這樣的數叫做三角形數，因為它的規律性可以用如圖表示．根據圖形，若把第一個圖形表示的三角形數記為a1=1，第二個圖形表示的三角形數記為a2=3，…，則第n個圖形表示的三角形數an＝___________．（用含n的式子表達）

【解析】觀察a1，a2，a3，a4這列數：1，3，6，10，

把它們乘以2，得：2，6，12，20，

容易發現：第n個數是：n(n 1)，

再把結果除以2即可得：an=(n 1)n/2.

例8 觀察數列：2，8，20，40，70，112…，按此規律，第10個數是______.

【解析】2=1×2，8=2×4，20=4×5，40=4×5×2，112=5×2×7，112=2×7×8，…

可以發現，這些數如果再都乘以3，每個數都可以化為三個連續整數的積，

因此，把這些數乘以3，得：

1×2×3，2×3×4，3×4×5，4×5×6，5×6×7，…

第n個數是n(n 1)(n 2)，

所以原數列的第n個數是n(n 1)(n 2)/3，

當n=10時，第10個數是440.

四、除以一個數

例9（2021·湖南常德）如圖中的三個圖形都是邊長為1的小正方形組成的網格，其中第一個圖形有1×1個正方形，所有線段的和為4，第二個圖形有2×2個小正方形，所有線段的和為12，第三個圖形有3×3個小正方形，所有線段的和為24，按此規律，則第n個網格所有線段的和為____________．(用含n的代數式表示)

【解析】觀察前三個圖形的答案數：4，12，24，

把它們除以2，得：2，6，12，

容易發現：第n個數是n(n 1)，

再把結果乘以2即可得：第n個網格所有線段的和為2n(n 1).

五、先加減一個數，再乘除一個數

例10（2021·湖北）将從1開始的連續奇數按如圖所示的規律排列，例如，位于第4行第3列的數為27，則位于第32行第13列的數是（ ）

A．2025 B．2023 C．2021 D．2019

【解析】通過觀察可以發現第1行各列中的數或第1列各行中的數，這些數一會兒增加的多，一會兒增加的少，毫無規律可循，觀察第n行第n列的數：1，5，13，25，…，

先減去1，得：0，4，12，24，…，再除以2，得：

0，2，6，12，…，

至此容易發現：第n個數是n(n-1)，

所以數表中第n行第n列的數是2n(n-1) 1，

經探索，第32行第32列的數為：

2×32×(32-1) 1=1985，

根據數表的排列規律，第偶數行從右往左的數據每退1就增加2，

所以第32行第13列的數據為：

1985 2×(32-13)=2023，故選：B．

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