公務員等差數列求和方法-tft每日頭條

公務員等差數列求和方法

生活更新时间:2024-11-30 15:34:51

在剛剛舉行的八省高三的适應性聯考的數學試卷上，第6題是要求九次多項式的二次項系數的:

[單項選擇](1 ⅹ)² (1 x)³ …… (1 ⅹ)^9的展開式中ⅹ²的系數是(★)。

A·60，B·80，C·84，D·120。

關于這道題，網上流傳了多種解法，但均局限于有關二項式定理或楊輝三角的，即直接利用二項式展開式中二次項系數關系表達式來進行計算的！

下面是二項式的基本知識:

公務員等差數列求和方法（求二次項系數的求導解法）1

這是大家的一般解法，也是主要解法:

公務員等差數列求和方法（求二次項系數的求導解法）2

當然，也有另辟蹊徑的，利用等比數列求和公式的，使多項式盡量向單項式靠攏的一種類似“放縮”的方法。

其解法如下:

公務員等差數列求和方法（求二次項系數的求導解法）3

今天，我要給大家介紹另一類大法，即用求導來降次法！

公務員等差數列求和方法（求二次項系數的求導解法）4

我們還是先來熟悉一下幂函數的求導公式吧:

公務員等差數列求和方法（求二次項系數的求導解法）5

可以看到，幂函數求導後能夠“降次”！

我們也知道，多項式

(1 x)² (1 ⅹ)³ …… (1 x)^9

展開後可記為如下形式

a0 a1x a2ⅹ² a3ⅹ³ …… a9x^9

(注意，a2即為x²的系數！！！)。

這樣，就有

公務員等差數列求和方法（求二次項系數的求導解法）6

對其兩邊求導，得

公務員等差數列求和方法（求二次項系數的求導解法）7

再對上式左右兩邊求導，得

公務員等差數列求和方法（求二次項系數的求導解法）8

注意，令上式ⅹ=0，即有

2 6 12 … 72=2a2，

即240=2a2，

因此，a2=120，即x²的系數為120。

一般地，(1 x) (1 ⅹ)² (1 ⅹ)³ …… (1 ⅹ)^n的展開式中含x^m的系數為C(n 1)‖(m 1)。

你學會了嗎？

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