高中數學中的函數最值求解問題是學習中的難點，在解決函數最值問題的時候要經過全方位的考慮，結合函數的定義域，将各種可能出現的結果進行分析，最終求得準确的計算結果。

在數學學習的過程中活躍的數學思維非常重要，它不僅可以改善學習方法，而且可以幫助學生掌握更多的解題技巧，進而提高解題速度和學習效率。

本文總結了一些求函數最值的常用方法如下：

一、利用一次函數的單調性

【例題1】已知 x , y , z 是非負實數，且 x 3y 2z = 3 , 3x 3y z = 4 ,

求函數 w = 2x - 3y z 的最值 .

解：

得 y = 5/3（1 - x）, z = 2x - 1

∴ w = 9x - 6

又 x , y , z 非負，

依一次函數 w = 9z - 6 的單調性可知

當 x = 1/2 時，Wmin = -3/2 ,

當 x= 1 時，Wmax = 3 .

注：

再求多元函數的條件最值時，通常是根據已知條件消元，轉化為一元函數來解決問題.

對于一次函數 y = kx b ( k ≠ 0 ) 的最值，關鍵是指出自變量的取值範圍，即函數的定義域，當一次函數的定義域是閉區間時，其最值在閉區間的端點處取得 .

二、利用二次函數的性質

【例題2】設 α , β 是方程 4x^2 - 4kx k 2 = 0 的兩個實數根，

當 k 為何值時 α^2 β^2 有最小值？

解：

∵ α , β 為方程的兩個實數根，

∴ α β = k , αβ = 1/4 ( k 2 ) ,

令 y = α^2 β^2 , 則有

又由原方程由實數根可知，

∴ k ≤ -1 或 k ≥ 2 .

而二次函數的頂點 （1/4，-17/16）不在此範圍内，根據二次函數的性質知，

y 是以 k = 1/4 為對稱軸，開口向上的，定義域為 （-∞，-1]∪[2， ∞）的抛物線，

比較 k = -1 及 k = 2 時 y 的值知，

當 k = -1 時，有 ymin = 1/2 .

注：

利用二次函數的性質求最值時，不能機械地套用最值在頂點處取得 . 首先要求出函數的定義域，然後在看頂點是否在函數的定義域内，最後再根據函數的單調性來判定 .

【例題3】如圖所示，抛物線 y = 4 - x^2 與直線 y = 3x 交于 A , B 兩點，

點 P 在抛物線上由 A 運動到 B，求 △APB 的面積最大時點 P 的坐标 .

分析：

由于 A , B 為定點，所以 AB 長為定值，欲使 △APB 的面積最大，須使 P 到 AB 的距離最大 .

解：

設 P 點坐标為 （x0 , y0）,

∵ A , B 在直線 y = 3x 上，

∴

聯立抛物線與直線方程，可得

xA = -4 , xB = 1 ,

∴ -4 ≤ x0 ≤ 1 ,

則有

∴

當 x = -3/2 時，d 取最大值，△APB 面積最大，此時 P 點坐标為 （-3/2 , 7/4）.

注：

在解決實際問題時要注意确定自變量取值範圍的方法，本題是由直線與抛物線的交點來确定的，這樣才能确定定義域内的最值 .

三、利用二次方程的判别式

欲求函數 y = f(x) ( x ∈ R ) 的極值，如果可以把函數式整理成關于 x 的二次方程，

注意到 x 在其定義域内取值，即方程有實根，

所以可以通過二次方程的判别式 △ ≥ 0 來探求 y 的極大值與極小值 .

【例題4】已知 0 ≤ x ≤ 1 , 求

的最值 .

解：原式可化為

∵ x ∈ R ,

∴

解得 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，

即函數 y 的值域為 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，

∴ y極大 = 1/4，y極小 = 9/16 .

當 y = 1/4 時，代入原函數解析式得 x = 1 ∈ [ 0 , 1 ] ;

當 y = 9/16 時，代入原函數解析式得 x = -1 ∉ [ 0 , 1 ] .

又 x = 0 時 ， y = 2/3 ,

∴ 當 x = 0 時，y 取極大值 2/3 .

注：

① 由判别式确定的是函數的值域，由值域得到的是函數的極值而不是最值；

② 對有些函數來說，極值與最值相同，而有的函數就不一定，

如本題中的極大值比極小值還小，這是因為極值是就某局部而言；

③ 若要求函數在給定的定義域内的最值，一定要注意極值是否在此定義域内取得，

即要注意驗根 .

四、利用重要不等式

【例題5】設 x , y , z ∈ R , 且 2x 4y 9z = 16 .

求 6√x 4√y 3√z 的最大值 .

解：

令 u = 6√x 4√y 3√z ,

∴ u ≤ 4√23 ,

( 其中當 9/x = 1/y = 1/9z 時，即當 x = 144/23 , y = 16/23 , z = 16/207 時取等号)

故

注：

這裡是應用柯西不等式，在應用公式時，

如何構造出已知條件等式 2x 4y 9z = 16，頗具技巧性和解題意義 .

五、利用三角函數的有界性

對于三角函數的極值，通常是利用三角函數的有界性來求解問題的，

如正、餘弦函數的最大（小）值很明顯：y = asinx bcosx （a , b ≠ 0）

引入輔助角 θ，則

其最值也一目了然 . 而對于其它的類型或用同角關系式、或用萬能公式、或用正餘弦定理作轉化，變為二次函數問題來求解 .

【例題6】求

的最值 .

解法一：（利用降幂公式）

解法二：（用判别式法）

注：本例還可以用萬能公式等方法來求解 .

六、利用參數換元

對于有些函數而言，直接求極值比較複雜或不方便，這時可根據題目的特點作變量代換，然後運用前面的幾種方法來解決問題.在換元時，一定要注意新的變量的取值範圍 .

【例題7】求函數 y = x √( 1 - x ) 的極值 .

解：

原函數變為

∵ t = 1/2 ∈ [ 0 , ∞ ) ,

∴ 當 t = 1/2 ，即 x = 3/4 時，ymax = 5/4 .

注：這種換元雖然十分簡單，但具有代表性 .

七、利用複數的性質

【例題8】已知複數 z 滿足 | z | = 2 , 求 | 1 √3 i z | 的極值 .

解法一：

設 z = 2（cosθ isinθ） （∵ | z | = 2）

故 | 1 √3 i z |max = 4 , | 1 √3 i z |min = 0 .

解法二：

依據 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 z2 | ≤ | z1 | | z2 | ,

有 | 1 √3 i | - | z | ≤ | 1 √3 i z | ≤ | 1 √3 i | | z | ，

即 2 - 2 ≤ | 1 √3 i z | ≤ 2 2 ，

∴ | 1 √3 i z |max = 4 , | 1 √3 i z |min = 0 .

注：

求複數模的最值通常可用代數法，三角法（解法一），

複數模的性質及其公式 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 z2 | ≤ | z1 | | z2 | ,

此外還有數形結合方法等，但以上兩種方法最為簡捷.

八、利用數形結合

有些代數和三角問題，若能借助其幾何背景，予以幾何直觀，這時求其最值常能收到直觀、明快，化難為易得功效.

【例題9】求

的最值 .

解：将函數式變形為

其幾何意義是在直角坐标系中，動點 P（cosx , sinx）和定點 A（-2 ， -1）連線的斜率，

動點 P 的軌迹為單位圓，如下圖所示：

知 kAB 最小，kAC 最大，顯然 kAB = 0 ,

又 tgθ = |OB|/|AB| = 1/2 ,

tg∠A = tg2θ = 2tgθ/（1 - tg^2 θ）= 4/3 ,

即 kAC = 4/3 ,

故 ymin = 0 , ymax = 4/3 .

注：

形如 [f(x) - a] / [g(x) - b] 的函數式，

通常都可視作點 （g(x) ，f(x) ） 與點 （b , a）的連線的斜率 .

運用數形結合的思想解題，關鍵是要進行合理的聯想和類比，

将代數式通過轉化、變形、給予幾何解釋，

通常這種轉化與變形的過程常是一種挖掘和發現的過程，如本例需要挖掘 .

高中數學100個知識點總結！

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