曆史證明，人類要接受一種新數，往往是非常困難的，甚至還曾經為此弄出過人命。第一個發現無理數的古希臘人希帕斯就被畢達哥拉斯的忠實信徒們抛進大海喂了鲨魚。負數雖然沒有弄出人命，但是在好幾個世紀中把歐洲的數學家們搞得暈頭轉向。大名鼎鼎的英國數學家、牛津大學教授瓦裡斯為負數鬧了一個大笑話，他說：“負數比無窮大還要大”，連後來的大數學家歐拉，對此也深信不疑呢！直至十九世紀，有些數學家如德·摩根、馬塞勒還說負數“十分荒唐”，主張把它“從代數裡驅逐出去”！

圖1 古希臘學派

正當歐洲數學家們被無理數和負數弄得暈頭轉向還沒有完全清醒過來的時候，他們又遇

最早遇到這種數的人，是法國的舒開（1484年）。但第一個認真讨論這種數的，是文藝複興時期意大利有名的“怪傑”、三次方程解法獲得者之一的卡丹。卡丹在1545年提出一個

圖2 複數的框圖

幾乎過了100年，1637年，解析幾何的創始人笛卡兒才給這種“虛幻之數”取了一個名字叫“虛數”（和“實數”相對）。又過了140年，大數學家歐拉還是說這種數隻是存在

牛津大學教授瓦裡斯富有想象力，給虛數找到了一個巧妙的“解釋”：假設某人欠地10

最有名的是萊布尼茲評論虛數時那一段頗帶幾分神秘色彩的話：“聖靈在分析的奇觀中找到了超凡的顯示，這就是那個理想世界的端兆，那個介于存在與不存在之間的兩栖怪物，那個我們稱之為虛的-1的平方根。”看，虛數竟成了上不沾天、下不沾地的“兩栖怪物”！

虛數開始出現以後，經過了兩個多世紀，還得不到人們的正式承認。為什麼？

大家知道，把一個實數和一個純虛數相加，得到形如a bi這種數，叫做複數。複數這個名詞是德國大數學家高斯給出的。高斯一邊感到這種數有點虛無缥缈，但一邊又覺得它很有可愛之處。你看，如果不承認這種數，代數方程有的無解，有的一個解，有的兩個解……五花八門，毫無規律；如果承認了它，代數方程都有解，而且n次方程不多不少恰好有n個解！此外，對複數進行代數運算，其結果還是複數（實數和純虛數隻是複數的特例），這樣形成了一個完整的數域。

複數既然有這麼多的“好處”，為什麼數學家對它總是疑慮叢生、遲遲不願接受呢？直至十九世紀中期，劍橋大學的教授們仍然抱着“厭惡”的心情，對它進行抵制。簡單點說，就是因為這種數“看不見”，同時也“用不上”，缺乏實踐的基礎。

圖3 複數集

為此立了一功的，是挪威測量學家末塞爾，他找到了複數的幾何表示法。大家知道，所有實數都可以用直線上的點來表示，正數用0右邊的點來表示，負數用0左邊的點表示；

于承認了負數和無理數。末塞爾發現，所有複數a bi都可以用平面上的點來表示，而且複數a bi與平面上的點一一對應（圖3）。這樣一來，複數就找到了一個“立足之地”，而且開始在地圖測繪學上找到了它的應用。

圖4 複數表示法

複數在幾何上找到了“立足之地”以後，人們對它就另眼相看了。從十八世紀末起，以歐拉為首的一些數學家，開始發展一門新的數學分支，叫做複變函數論。大家都學過函數，但在中學裡，函數自變量的取值範圍僅限于實數。如果把函數自變量z的取值範圍擴大到複數，那麼這種函數就叫做複變函數。即複變函數W=f(z)，其中z，W都是複數。

因為一個複數可以表示為平面上的一個點，那麼自變量z的取值範圍就是平面上的一個點的集合，相應的函數W的取值範圍卻是另一平面上的一個點的集合。從幾何角度來看，所謂複變函數，就是把甲平面上的一個圖形A（點的集合）變換成乙平面上的一個圖形B（也是點的集合）。研究複變函數性質的一門學科，就是複變函數論。十九世紀以後，由于法國數學家柯西、德國數學家黎曼、魏爾斯特拉斯的巨大貢獻，複變函數論取得了飛躍的發展，并且在空氣動力學、流體力學、電學、熱學、理論物理學等方面有了廣泛的應用。把這種“虛幻之數”第一次應用到工程部門取得重大成就的，是俄羅斯“航空之父”儒可夫斯基，下面就講一講他的一些有趣的故事。

尼古拉·葉哥洛維奇·儒可夫斯基1847年1月17日生于俄國弗拉基米爾省，21歲畢業于莫斯科大學的應用數學專業。他是一個多面手，特别在航空方面很有造詣，後來就專心從事飛行的研究。

1890年，儒可夫斯基在俄國自然科學家會議上作了《關于飛行的理論》的演說。第二年完成了有名的關于飛行的著作《論鳥之飛翔》。他通過長期的觀察和研究，發現了鳥類飛行的許多奧秘，作出了一個大膽的預言：飛機可以在空中“翻筋鬥”，即在鉛直的平面内打圈。當時不少人對他的預言将信将疑，也沒有哪一個飛行員敢于冒險去嘗試。十多年以後，陸軍中尉聶斯切洛夫實現了世界上第一次飛機在空中“翻筋鬥”，以後，這種特技飛行就稱為“聶斯切洛夫筋鬥”。儒可夫斯基的預言實現了，他的預言就是根據複變函數的理論計算出來的。

圖5 儒可夫斯基

儒可夫斯基生長的時代，飛機剛剛飛上了天。飛機為什麼能飛上天，它應該怎樣設計，怎樣改進，這一切一切全憑實驗來摸索，找不到可靠的理論根據，特别是無法運用數學這個有力工具。由于盲目的實踐，所以成功的機會少，失敗的時候多。一般的科學家都認為，飛行這門學問隻能以實驗為基礎。莫斯科航空學校校長勃勞茨就曾經說過：“要想依靠數學來建立航空學的某些定律，是再危險不過的事了。”

儒可夫斯基不相信這一套。他研究了圍繞和流過障礙物的不斷運動着的氣流分子（圖6），于1906年（就是萊特克弟的飛機飛上天空後的第三年）發表了論文《論連接渦流》，成功地解決了空氣動力學的主要問題，創立了以空氣動力學為基礎的機翼升力原理，并找到了計算飛機翼型的方法。這一切的成就，都依賴于那個前人感到不可捉摸的“虛幻之數”，以及由它引申出來的複變函數論。

圖6 不同模型下的氣流分子

儒可夫斯基翼型，依賴于有名的儒可夫斯基變換，這是一個分式線性的複變函數

其中z為自變量，W為函數，a是一個常數。前面說過，當自變量z的取值範圍是平面上一個點集時，函數W的取值範圍是另一平面上的一個點集。複變函數把z平面上一個圖形A變換成W平面上的一個圖形B（這種變換又稱為轉繪”）。上述儒可夫斯基變換，能把z平面上以P（P不在坐标軸上）為圓心的圓，變成W平面上飛機翼型的截面圖。這個翼型就是有名的儒可夫斯基翼型（圖7）。

圖7 儒可夫斯基翼型

實際上，儒可夫斯基從理論上提出的這個翼型，要想完全照樣制作是困難的。實際使用的翼型是根據實驗結果描出的經驗曲線制作的。但是，由于這種理論上的翼型能夠用解析式完美地表達出來，對具有這種假想翼型的飛機性能就可以作充分的計算或估計，然後把計算的結果和實際的翼型作比較，就可以為設計各種優良翼型提供資料。總之，有了理論翼型，就可以指導我們的實踐，避免實踐上的盲目性。所以儒可夫斯基翼型在航空工程學上有着重大的意義，而為從事這項工作的人們所熟悉。1916年儒可夫斯基的重要著作《航空理論基礎》譯成法文，成了航空工程師和飛機設計家的必備手冊。

儒可夫斯基70歲時，趕上了俄國十月革命。革命後，由于對航空事業作出的巨大貢獻，他擔任了當時世界上最大的航空科學研究院（後來就以他的名字命名）的領導工作。

1921年在紀念他工作50周年的時候，列甯發布了一道命令，尊稱他為“俄羅斯航空之父”。晚年，他的手癱瘓了，還孜孜不倦地為祖國培育新一代的航空人才。在他1921年3月17日逝世前不久，還在計劃給航空小組的學生講授“陀螺儀”的專門課程呢！

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