即使埃斯庫羅斯（古希臘三大悲劇作家之一）被人們遺忘了，阿基米德仍會被人們記住,因為語言文字會消亡而數學概念卻不會。“不朽”可能是個缺乏理智的用詞,但是或許數學家最有機會享用它，無論它意味着什麼。

　　——G.H.哈代（英國數學家）

　　1、數的傳說

　　結繩記事

　　數字産生于人類的生産、生活的需要。凡是有人群生活的地方，就必須要計數、要運算、要分配，即使是遠古時代亦不會例外。《周易·系辭下》記載“上古結繩而治，後世聖人，易之以書契”。東漢鄭玄稱：“事大，大結其繩；事小，小結其繩。結之多少，随物衆寡”。實質上就标志着數的産生。但是遠古時代，對數是如何産生的，人們作了許多猜想，并結合祖先改造自然的重大事件或文化上的突出成就編造了許多神奇的故事一隻流傳至今。

　　最突出的兩個傳說是“河圖洛書”與“隸首作數”。相傳，上古伏羲氏時，洛陽東北孟津縣境内的黃河中浮出龍馬，背負"河圖"，獻給伏羲，這是一幅數字、星座的排列圖，伏羲依此而演成八卦，編了《周易》。又相傳，大禹治水有功，在洛陽西洛甯縣洛河中浮出神龜，背馱"洛書"獻給大禹，大禹據此編成《洪範九疇》。《易·系辭上》說:"河出圖，洛出書，聖人則之"，就是指這兩件事。

　　河圖洛書

　　河圖、洛書的數學價值很高，根據河圖畫出的八卦實際上就是最早的二進制。18世紀德國的萊布尼茲創立二進制時，就是受到八卦的啟發（這個結論尚有争議）。洛書，列成數表就是一張縱橫圖，是現在組合數學中最古老的例子，是訓練思維的數學幻方，如今在程序設計、圖論等方面都有廣泛的應用。

　　到了黃帝時代，又有了進一步的概括和發展，黃帝命他的史官隸首作數，這樣，數就産生了。

　　2、自然數及其曆史

　　數的概念最初不論在哪個地區都是1、2、3、4……這樣的自然數開始的，但是記數的符号卻大不相同。古代巴比倫人的數字用點來表示，五個點表示5，八個點表示8，九個點表示9，點太多，數不清時，發明了專用的計數符号，“”表示10，“T”表示360等等；在中國，一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬這13個數字在甲骨文中就已經出現。古羅馬的數字相當進步。羅馬數字的符号一共隻有7個：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。這7個符号位置上不論怎樣變化，它所代表的數字都是不變的。它們按照一定的規律組合起來，就能表示任何數。

　　2.1“0”的出現

　　最初，阿拉伯數字中沒有“0”，經過1000多年後才産生了“0”。沒有“0”這個數字時，為了表示某一位上一個計數單位也沒有，就“不寫”或“空寫”。後來，印度人在數字中間加上小點“.”表示空位，又過了很長時間，小點便改成“0”。我國古代用算籌記數，也采取空位表示零。古書中缺字常用“□”表示，數字裡的空位也用“□”表示，以後由于書寫時常用行書，“□”也就容易寫成圓圈了，用“○”表示零。

　　從曆史上看，國内外數學界對于0是不是自然數曆來有兩種觀點：一種認為0是自然數，另一種認為0不是自然數。建國以來，我國的中小學教材一直規定自然數不包括0。 目前，國外的數學界大部分都規定0是自然數。為了國際交流的方便，1993年頒布的《中華人民共和國國家标準》（GB 3100~3102-93）《量和單位》（11-2.9）第311頁，規定自然數包括0。所以在近幾年進行的中小學數學教材修訂中，我們的教材研究編寫人員根據上述國家标準進行了修改。即一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數。 但是，在小學階段的“整除”部分，仍然不考慮自然數0，因而在約數、倍數等概念中都不包括0。

　　另外，一般情況下我們不說數0是幾位數，所以最小的一位數是1。

　　0的意義是什麼呢？

　　在自然數範圍内，0通常表示沒有，起占位作用。

　　但在有理數以及實數範圍内，0表示正數與負數的分界點，此時0不再表示“沒有”，而根據具體情境表示特定的意義，

　　比如：攝氏0度，這裡的0不是表示沒有，而是表示一個特定的溫度（結冰的臨界點）

　　《數學之謎》一書中說：

　　“還有很多例子都可以說明0在生活中有很多含義，不僅僅表示算術中的沒有。”，“0在數學上是一個很重要的數字，0到1的飛躍體現了從無到有的過程”，“其實0也是充滿了矛盾，比如任意多個數與0相加，0并不改變它們的值；而許多個數相乘，隻要其中有一個數是0，乘積就是0，看0的威力多大啊”，“我們必須知道數學上的概念是相對的，不是不變的。0也是如此”。

　　2.2 G.皮亞諾序數理論

　　19世紀，皮亞諾提出了五條算術公理，才從理論上徹底解決了什麼是自然數，他的三個概念與五個公理是：

　　0，後繼和自然數，以及如下五個公理：

　　公理1 0是自然數。

　　公理2 任何自然數的後繼是自然數。

　　公理3 0不是任何自然數的後繼。

　　公理4 不同的自然數後繼不同。

　　公理5 對于某一性質，若0有此性質，而且若某自然數有此性質時，它的後繼也有此性質，則一切自然數都有此性質。

　　具體地說，0的後繼中國人叫1，美國人叫one,1的後繼中國人叫2，美國人叫two,等等。第五公理談的是數學歸納法。一個自然生出其後繼的過程是加法，記成0 1=1,1 1=2,2 1=3,3 1=4，n 1=(n 1),等等。

　　3、負數及其曆史

　　負數也是在生産實踐中産生的。人們在生活中經常會遇到各種相反意義的量。比如，在記帳時有餘有虧；在計算糧倉存米時，有時要記進糧食，有時要記出糧食。為了方便，人們就考慮了相反意義的數來表示。于是人們引入了正負數這個概念，把餘錢進糧食記為正，把虧錢、出糧食記為負。我國三國時期的學者劉徽在建立負數的概念上有重大貢獻。劉徽首先給出了正負數的定義，他說：“今兩算得失相反，要令正負以名之。”意思是說，在計算過程中遇到具有相反意義的量，要用正數和負數來區分它們。

　　我國古代著名的數學專著《九章算術》（成書于公元一世紀）中，最早提出了正負數加減法的法則：“正負數曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之；其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。”這裡的“名”就是“号”，“除”就是“減”，“相益”、“相除”就是兩數的絕對值“相加”、“相減”，“無”就是“零”。用現在的話說就是：“正負數的加減法則是：同符号兩數相減，等于其絕對值相減，異号兩數相減，等于其絕對值相加。零減正數得負數，零減負數得正數。異号兩數相加，等于其絕對值相減，同号兩數相加，等于其絕對值相加。零加正數等于正數，零加負數等于負數。”

　　這段關于正負數的運算法則的叙述是完全正确的，與現在的法則完全一緻！

　　西方首先使用負數者應是古希臘的丢番圖 (Diophantus，約246-330) , 盡管他不承認方程的負根,但已認識到“減數乘減數得加數, 加數乘減數得減數”。 若在解方程中出現負根，他就放棄此根。

　　至14世紀，丘凱(N.Chuquet，1445-1500)和斯蒂弗爾(M. Stifel，1487-1567)都稱負數為“荒謬之數”。卡爾達諾(G..Cardano，1501-1576)在其《大術》中承認了負根, 但卻認為負數是“假數”。直到1572年，邦貝利(R.Bombelli，1526-1572)在其《代數學》中才給出了負數的明确定義。然而在17世紀以前, 西方有不少數學家不承認負數，如韋達(F.Viète，1540－1603),在解方程時極力回避負數, 并把負根統統舍去。由于把零看作“無” , 因而難以理解比“無” 還要“少”。如帕斯卡（B.Pascal ，1623-1662）認為，從0減去4是純粹胡說。而阿潤德則舉例強烈反對負數，若(-1):1=1:(-1)，則有較小數與較大數之比等于較大數與較小數之比，豈不荒謬！

　　直到1629年，荷蘭數學家吉拉德(A.Girard，1593-1632)才使用負數解決幾何問題，并在其《代數新發現》中用“-”表示負數和減法運算。吉拉德的符号得到公認，一直沿用至今。

　　4、分數及曆史

　　随着生産、生活的需要，人們發現，僅僅能表示自然數是遠遠不行的。一旦要知道一塊地的面積，一段繩子的長度，一塊肉或一袋面粉的重量，自然數就不夠用了。也就是說，人們在生産和生活中開始使用尺子、量器和稱的時候，分數就應運而生了。

　　中國古代的數學著作《九章算術》裡最早論述了分數運算的系統方法。這在印度出現于7世紀，比我國晚400多年。歐洲更要推遲1400多年。

　　對分數達到崇拜高度是畢達哥拉斯學派， 這是一個創建于公元前4世紀的古希臘學派，全名是“畢達哥拉斯兄弟會”，像不像個黑社會的名字。這是一個宗教性的社會團體，學派的每個成員（大約600人左右）被迫宣誓永不向外界洩露他們的任何數學發現。曾經有一位成員因為背棄誓言而被淹死——他公開宣布發現了一種由12個正五邊形構成的新的規則立體：正十二面體。

　　正十二面體

　　他們崇拜的偶像之一就是數，他們相信，同了解數與數之間的關系，他們能夠揭示宇宙的神聖的秘密，使他們更接近神，所以他們認為“萬物皆數”。特别是，他們将注意力集中于“計數數”（1,2,3,4-----）和分數的研究。“計數數”也叫整數，他們與分數（整數之間的比）一起稱為“有理數”。

　　“有理數”這一名稱不免叫人費解，而有理數并不比别的數更“有道理”。事實上，這似乎是一個翻譯上的失誤。“有理數”一詞是從西方傳來，在英語中是rational number，而rational通常的意義是“理性的”。中國在近代翻譯西方科學著作時，依據日語中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了“有理數”。但是，這個詞來源于古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思（這裡的詞根是英語中的，希臘語意義與之相同）。所以這個詞的意義也很明顯，就是整數的“比”。與之相對，“無理數”就是不能精确表示為兩個整數之比的數，而并非沒有道理。

　　5、畢達哥拉斯學派的三大貢獻

　　5.1畢達哥拉斯定理

　　在中國叫勾股定理，又叫“商高定理”。

　　關于勾股定理的發現，《蔣銘祖算經》上說："故禹之所以治天下者，此數之所由生也；""此數"指的是"勾三股四弦五"。這句話的意思就是說：勾三股四弦五這種關系是在大禹治水時發現的。

　　另據記載，商高（約公元前1120年）答周公曰“故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。”這也是關于“勾三股四弦五”的最早描述。

　　在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關系：以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得斜至日。

　　在陳子後一二百年，希臘的著名數學家畢達哥拉斯發現了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達哥拉斯”定理。為了慶祝這一定理的發現，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”．

　　據說勾股定理的證明方法有500多種，其中以圖形法最著名。

　　勾股定理的證明

　　5.2數論上的貢獻

　　他們對整數進行了分類。如整數中包含有奇數、偶數、質數、親和數及完全數等等。

　　5.2.1質數無數個的證明

　　證明：（反證法）

　　假設素數隻有有限的n個，最大的一個素數是p

　　設q為所有素數之積加上1，那麼，q = ( 2 * 3 * 5 * …… * p ) 1不是素數

　　那麼，q可以被2、3、……、p中的數整除

　　而q被這2、3、……、p中任意一個整除都會餘1，

　　(1)如果N 是素數，那麼與P是最大素數矛盾

　　(2)如果N 是合數，那麼N必然存在至少一個大于P的素數約數，與假設矛盾

　　所以，素數是無限的

　　5.2.2親和數

　　據說，畢達哥拉斯(Pythagoras, 希臘文Πυθαγόρας，約前580年-前500年)的一個門徒向他提出這樣一個問題:"我結交朋友時，存在着數的作用嗎?"畢達哥拉斯毫不猶豫地回答:"朋友是你的靈魂的倩影，要像220和284一樣親密。"又說"什麼叫朋友?就像這兩個數，一個是你，另一個是我。"後來，畢氏學派宣傳說:人之間講友誼，數之間也有"相親相愛"。從此，把220和284叫做"親和數"或者叫"朋友數"或叫"相親數"。這就是關于"親和數"這個名稱來源的傳說。220和284是人類最早發現，又是最小的一對親和數。

　　親和數的數目有很多，想了解更多可以參看相關的書籍。

　　5.2.3完全數

　　畢達哥拉斯曾說:"6象征着完滿的婚姻以及健康和美麗，因為它的部分是完整的，并且其和等于自身。"有些《聖經》注釋家認為6和28是上帝創造世界時所用的基本數字，因為上帝創造世界花了六天，二十八天則是月亮繞地球一周的日數。聖·奧古斯丁說:"6這個數本身就是完全的，并不因為上帝造物用了六天;事實上，因為這個數是一個完全數，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了"。

　　在追求完全數的道路上也出現了令人惋惜的事情，1936年美國聯合通訊社播發了一條令外行人瞠目結舌的新聞，《紐約先驅論壇報》報道說：“S.I.克利格博士發現了一個155位的完全數2256（2257-1）.這位博士說，為了證明它确實為完全數，足足奮鬥了5年的時間。”這位博士也真夠孤陋寡聞和盲目行事的了。實際上在2000年前，歐幾裡得就告訴過大家2n-1(2n-1)是完全數，其中n是正整數，後經歐拉嚴格證明，這是個正确的結論。

　　數學家應當當心，自己發現的可能是一塊“舊大陸”，并非什麼新成就。

　　經過不少數學家研究，到2013年2月6日為止，一共找到了48個完全數。

　　5.3撰造了“哲學家”這個詞

　　思想

　　畢達哥拉斯這樣介紹自己：“生活好比這些公開的競技會，在這裡聚集的一大群人中，有些人受獎勵的誘惑而來，另一些人則因對名譽和榮耀的企求和受野心的驅使而來，但他們中間也有少數人來這裡是為了觀看和理解這裡發生的一切。

　　生活同樣如此。有些人因愛好财富而被左右，另一些人因熱衷于權力和支配而盲從，但是最優秀的一類人則獻身于發現生活本身的意義和目的。他設法揭示自然的奧秘。這就是我稱之為哲學家的人。雖然沒有一個人在各方面都是很有智慧的，但是他能熱愛知識，視其為揭開自然界奧秘的鑰匙。”

　　當然畢達哥拉斯學派貢獻還有很多，天文和音樂上的貢獻也很大，這裡不再多述。

　　注：本文講到有理數，無理數與虛數有待後續。

　　,

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!