數學并非無用

隻是太超前

“哼，數學除了摧殘我們這些祖國的花朵之外，然而并沒有什麼卵用。”

超模君：看來最近又要拿些真材實料來摧殘一下祖國的花朵。。。

于是，超模君又開始要講故事了：

概率論

在文藝複興時期，意大利出現了一位大學者，卡爾達諾（Girilamo Cardano），他精通數學、物理、醫學、哲學、星占學。

有趣的是，這位百科全書式的學者十分好賭，并且賭術不高明，因此，他也輸掉了大把的家産。

不過，他喜歡賭博，也喜歡研究賭博，因此寫下《論賭博遊戲》一書，于1663年出版。這本書被認為是第一部概率論專著，開創了現代概率論研究的先河，也為如今的精算學做了鋪墊。

所以大家千萬不能跟數學好的賭博，因為輸慘了，分分鐘會寫成一本巨作！

賭徒常有，而會數學的賭徒不常有！

在一個世紀之後，法國賭徒梅内在他常玩的兩個遊戲中發現了一些問題（愛思考的賭徒運氣都不會太差）。

在他常玩的兩個遊戲裡：

一個是連續擲4次色子，看能否扔出一個6；一個是擲兩個色子，連續24次，看能否扔出2個色子都是6的情況。

最開始，梅内認為兩種遊戲方式赢錢的概率是相等的，但經過多次輸錢後，他發現了不同：

第一個遊戲他赢多輸少。。。第二個遊戲卻是輸多赢少。。。

于是，梅内向朋友數學家帕斯卡求助。。。

趕緊找個數學好的做朋友

就在1654年，帕斯卡與費馬探讨了這個問題（為概率論的發展打下了基礎）。

随着1657年荷蘭數學家惠更斯《論賭博中的計算》的發表，成為了第一部公開發表的概率論著作。

17世紀晚期，雅各布·伯努利發現，概率論遠遠不止用于賭博，他發現了一個神奇而又常見的情況：

大家可以回想一下：當我們随機擲一次色子，每個數字出現的概率都是1/6，但連續擲6次色子并不能确保每個數字都能出現。

他将他的思考和研究記錄下來，寫成了《猜度數》一書（此書到他死後的1713年才出版）。

他提出了伯努利實驗，是指在同樣的條件下重複地、各次之間相互獨立地進行的一種試驗。由于樣本點不一定是等概率的，許多實際問題都可歸結為這種模型。

更重要的是，伯努利還提出了大數定理：指在一個随機事件中，随着試驗次數的增加，事件發生的頻率越趨近于一個穩定值。

這個定律在保險公司得到了充分利用（保險公司的朋友趕緊來關注）。

在此之前，保險公司隻敢賣出有限的保單，因為他們認為賣出的保單越多，賠付的風險看上去就越高，這可能會導緻公司垮掉。而在得知大數定理後，也就從18世紀初開始，保險公司終于開始大肆推銷保險。因為根據大數定理，可以知道：保單賣得越多，賠付的概率就越趨于穩定，風險是可控的。

事實上，經濟學裡的最優決策以及穩定增長問題都離不開概率論。

在物理學、化學反應動力學、生物學上，也會運用到概率模型來解決問題。

随機引起的流體力學的湍流

如今，很多服務系統，如電話通信，船舶裝卸，機器損修，病人候診，紅綠燈交換，存貨控制，水庫調度，購貨排隊等，這些涉及“排隊過程”的問題都可用概率模型來描述，進而進行合理的安排。

在空間科學和工業生産的自動化技術中需要用到信息論和控制理論，而研究帶随機幹擾的控制問題，就要用到概率論方法。

概率論活躍在各個領域，正如拉普拉斯曾說過的這句話：生活中最重要的問題，其中絕大多數在實質上隻是概率的問題。

超模君：等下，我先去買注！

最密堆積

就在剛才去買的時候，超模君路過一個水果攤，老是占道經營，那是不是解決空間利用率問題，他們就不會再占用道路了。。。

心想：假如在你面前放着一堆橙子，該如何進行擺放才能最省空間的？

憑直覺，任何人都會說：第一層橙子彼此相鄰的凹處放第二層橙子。

但這種直覺對嗎？如果是對的話，那誰能給出證明呢？

趕緊回去翻書：原來在1611年，開普勒就提出過：水果商堆橙子的辦法對空間的利用率是最高的，但卻沒辦法證明（以前數學家的偉大之處，總是能留一些神奇的猜想）。

軍隊堆垛炮彈

在此後的400多年裡，衆多數學家開展了對“開普勒猜想”的證明。

直到1998年，美國匹茲堡大學的托馬斯·海爾斯（Thomas C. Hales）終于對這個“直覺”問題給出了證明：在箱子裡堆放大小一樣的球，用“面心立方體”的堆積方式（即上層圓球安放在下一層圓球中間的各個凹處）可以使空間利用率最高。

也就是說，水果商憑借直覺跟經驗，在箱子裡裝橙子的辦法一直都是最有效的。

誰也沒想到，堆一堆橙子竟然發現這樣的規律：

這些有關最密堆積的研究成果促進了現代通訊技術的發展，成為了信道編碼和糾錯編碼研究的核心内容。

類似的，還有這個“牛頓數問題”。

牛頓數，“Kissing Number”，是與一個ｎ維球外切的等維球的個數。

在17世紀，牛頓和大衛·格裡高裡一直在争論，到底三維的牛頓數是多少。

如下圖，很明顯可以看出二維的牛頓數是6，牛頓認為三維的牛頓數是12，卻沒有證明。

直到1953年，科特·舒特和範·德·維爾登才終于證明了三維的牛頓數确實是12。

三維（牛頓數是12）

2003年，奧萊格·穆辛證明了4維的牛頓數是24。至于5維的牛頓數是多少，目前隻知道它在40到44之間。早在1979年，美國明尼蘇達大學的安德魯·奧德裡茲克證明了8維的牛頓數是240，24維的牛頓數是196560。事實上，8維和24維的牛頓數的證明比三維的牛頓數簡單，它們跟超密集的球體填充問題有關：8維E8點陣和24維Leech點陣。

這些看似無用的發現，其實跟互聯網的發展密不可分。

20世紀60年代，一位叫戈登·朗的工程師在設計調制解調器系統時，将信号當做是一個個包含信息的“小球”，隻有這些“小球”被盡可能緊密的排列起來，才能達到信息量最大化。

經過十幾年的研究，他終于發明了采用E8堆積法傳遞8維信号的調制解調器。這項技術可以通過電話線進行信号傳播，因此不必重新設計信号電纜，大大促進了互聯網的發展。

超模君：後來把方法告訴老闆，老闆說：哦！

拓撲學

1736年，29歲的歐拉（Leonhard Euler）向聖彼得堡科學院遞交了《哥尼斯堡的七座橋》的論文，圓滿地回答了哥尼斯堡居民提出的七橋問題，證明了不可能在所有橋都隻走一遍的情況下，走遍連接河中心兩個小島和兩岸的所有七座橋。

歐拉大神總是在習以為常的情況下，發現各種超乎想象的次元！

事實上，歐拉的解決方法是忽略了橋的長度和島的大小，将島和橋簡化成了平面上的點與線。

是的，歐拉的發現為後來的數學新分支——拓撲學的建立奠定了基礎。

1847年，李斯亭（Johann Benedict Listing）将歐拉的才智進一步發展，對于這一新的數學領域，引入了“拓撲學”的概念。

數學家們覺得拓撲學十分有趣，在此後的一個多世紀，數學家們進行了大量關于拓撲學應用的研究。但是，這隻是在研究，并沒有将它進行實際應用。

如果想看看到底有多有趣，歡迎移步：《如何讓你在10分鐘内了解拓撲變換》。

直到20世紀90年代，拓撲學的應用終于開始真正的發展。

現在，幾乎所有領域離不開拓撲學了。

生物學家通過扭結理論理解DNA的結構；計算機學家通過扭結在一起的同軸電纜制造量子計算機；機器人科學家也用相同的理論使機器人走路；醫生以同調論為基礎為病人做大腦掃描；宇宙學家以此來理解銀河系的形成；通信公司運用拓撲學來決定如何布置基站進行網絡覆蓋；手機的照相功能也是通過拓撲學原理實現的；還有，超模君用莫比烏斯帶做了個戒指表白，然後被拒。

超模君：又說起傷心事，下次要學學薛定谔！

事實上，即使是那些理論性最強的數學研究，也可能在幾十年後，在一些意想不到的領域中産生作用。

确實，數學成果從應用，再到産生實際效益，其時間并不可知，但他的價值卻一直在那裡，或許這也是數學的魅力。

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