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昆明理工大學考研專業課真題解析

昆明理工大學碩士研究生入學考試《數學分析》考試大綱

第一部分 考試形式和試卷結構

一、試卷滿分及考試時間

試卷滿分為150 分，考試時間為180 分鐘．

二、答題方式

答題方式為閉卷、筆試．

三、試卷的内容結構

極限論 約占20％

單變量微積分學 約占30％

多變量微積分學 約占30％

級數論 約占20％

四、試卷的題型結構

計算題 約75分

證明題 約60分

綜合題 約15分

合計 150分

第二部分 考察的知識及範圍

一、極限論

（1）掌握數列極限，函數極限定義，會用數列極限、函數極限的定義證明有關極限問題；掌握函數有界、無界的定義，并會用其證明給定函數在給定區間上的有界性、無界性；掌握實數集上、下确界的定義。

（2）掌握收斂數列的性質及運算，掌握單調有界數列收斂定理、迫斂性法則、柯西收斂原理、歸結原則及應用；掌握函數極限的性質及運算，會用兩個重要極限來處理極限問題。

（3）掌握無窮小量和無窮大量的定義、性質和關系；掌握無窮小量階的比較。

（4）理解和掌握連續函數的定義和運算，解決有關函數連續性問題；掌握不連續點的類型；掌握單側極限的概念。

（5）掌握和應用閉區間上連續函數的性質（最大最小值性、有界性、介值性、一緻連續性）；掌握初等函數的連續性，理解複合函數的連續性，反函數的連續性。

（6）掌握實數連續性定理：閉區間套定理、單調有界定理、柯西收斂準則、确界存在定理、聚點定理、有限覆蓋定理。

（7）理解平面點集的基本概念，了解矩形套定理，緻密性定理、有限覆蓋定理；掌握二元函數的極限，二次極限，連續性概念及計算；掌握有界閉區域上多元連續函數的性質。

二、單變量微積分學

（1）理解和掌握導數與微分概念和幾何意義；能熟練地運用導數的運算性質和求導法則求函數的導數(特别是複合函數)。

（2）理解可導性、連續性與可微性的關系；掌握導數的幾何應用，微分在近似計算中的應用；掌握高階導數的求法。

（3）掌握中值定理的内容、證明及其應用；能熟練地運用羅必達法則求不定式的極限；掌握泰勒公式并能應用其解決近似計算、求極限等相關問題。

（4）掌握函數圖形特征(單調性、極值與最值、凹凸性、拐點及漸近線)的判定及描繪函數圖形。

（5）掌握原函數和不定積分概念；熟練掌握換元積分法、分部積分法、有理式積分法和三角有理式積分法，并能利用它們來求函數的積分；會計算簡單的無理函數的積分。

（6）理解定積分概念，掌握函數可積的條件；熟悉一些可積分函數類；掌握定積分與可變上限積分的性質；能較好地運用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法計算定積分。

（7）掌握定積分的幾何應用；掌握定積分在物理上的應用；掌握"微元法"。

（8）掌握廣義積分的收斂、發散、絕對收斂與條件收斂等概念；.能用收斂性判别法判斷某些反常積分的收斂性。

（9）掌握含參變量定積分的性質及計算。

三、 多變量微積分學

（1）掌握偏導數、全微分、方向導數、高階偏導數、高階全微分等概念；了解多元函數可微、可導及連續的關系；掌握複合函數、隐函數的求導法則、由方程（組）所确定的函數的求導法則。

（2）掌握隐函數的存在性定理；會求曲線的切線方程和法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程；會求多元函數的極值（條件極值和無條件極值）。

（3）掌握二重、三重積分的概念和性質；會計算重積分；會求圖形的面積，體積。

（4）掌握兩類曲線積分的概念及計算；掌握兩類曲線積分的性質；掌握兩類曲線積分的關系；掌握Green公式并會用其計算有關積分 。

（5）掌握兩類曲面積分的概念及計算；掌握兩類曲面積分的性質；掌握兩類曲面積分之間的關系；掌握Gauss公式、Stokes公式并會用其計算有關積分 。

四、級數論

（1）理解數項級數的收斂，發散，絕對收斂與條件收斂等概念；掌握數項級數的基本性質；熟練應用正項級數斂散性判别法（比較判别法、比式判别法、根式判别法和積分判别法）與任意項級數的斂散性判别法判斷級數的斂散性；能熟練應用幾何級數、調和級數與p級數的斂散性。

（2）掌握函數項級數（函數序列）收斂及一緻收斂性概念；掌握一緻收斂級數的性質，能夠比較熟練地運用判斷一緻收斂性的判别法（Cauchy收斂準則， Weierstrass判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法）判斷函數項級數（函數序列）的一緻收斂性。

（3）掌握幂級數，收斂半徑、收斂域、和函數等概念；會求幂級數的收斂半徑和收斂域；掌握幂級數的性質并能求和函數；會把函數展開成幂級數。

（4）掌握三角函數系的正交性與周期函數的Fourier級數的概念和性質；掌握Fourier級數收斂性判别法；能将函數展開成Fourier級數。

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