寫在前面

本學期接近尾聲，初一的幾何也即将結束，而外角的引入，則讓很多同學不适應，筆者取了這個标題“永遠不肯用”，是因為很多同學頭腦裡對三角形内角和為180°充滿執念，不願接受新知識，所以，我開設了這一課，力圖幫你有所突破！

一、知識回顧

三角形的一邊與它鄰邊延長線所組成的角，叫做三角形的外角

如圖，把△ABC的邊AB延長，得到∠CBD，稱為△ABC的一個外角．

“外角”是三角形的外角，

我們稱某個角是某個三角形的外角，

而不稱三角形某個角的外角．

三角形外角定理

三角形的外角等于與它不相鄰的兩個内角的和．

如圖，在△ABC中，∠CBD＝∠A＋∠C．

要找外角，我們可以形象的把基本圖形生活化，整個外角模型就像一面小旗，外角就是旗杆和旗面下邊緣的夾角．

二、專題突破

1、外角再認識

例：

如圖，說出圖中所有的外角，并指出其是哪個三角形的外角．

分析：

要确定某個角是某個三角形的外角，要先确定這個角的鄰補角在哪個三角形中，它就是這個三角形的外角．比如∠1的鄰補角是∠2，∠2在△CBE中，則∠1是△CBE的外角．再比如∠3的鄰補角有2個，但均不在三角形中，所以不能作外角．而∠4的鄰補角有2個，且均在三角形中，則∠4是兩個三角形的外角．

解答：

∠1是△CBE的外角，∠2是△ABF的外角，

∠4和∠6是△ABF，△DEF的外角，

∠7是△DFE的外角，∠8是△CDA的外角．

2、借助外角，掌握基本模型

例：

(1)八字形模型

如圖，試探究∠A，∠B，∠C，∠D之間的數量關系．

分析：

這個模型的結論是∠A＋∠B＝∠C＋∠D，很多同學利用兩個三角形的内角和為180°，減去相等的兩個對頂角，得出結論，稍顯繁瑣，我們不妨用外角來證．

證明：

在△AOB中，∠BOC＝∠A＋∠B

在△COD中，∠BOC＝∠C＋∠D

∴∠A＋∠B＝∠C＋∠D

2、借助外角，掌握基本模型

例：

(2)平行線拐角模型(續)

如圖，試探究∠B，∠BED，∠D之間的數量關系．

分析：

這個模型的結論是∠BED＝∠B＋∠D，之前我們過點E作平行線證明，但仔細觀察這個結論，很像一個外角等于兩個不相鄰的内角和的形式．因此我們可以嘗試把∠BED轉化為外角，添加另一種輔助線．

證明：

如圖，延長DE交AB于F，

在△BEF中，∠BED＝∠B＋∠1

∵AB∥CD，∴∠1＝∠D

∴∠BED＝∠B＋∠D

2、借助外角，掌握基本模型

例：

(2)平行線拐角模型(續)

如圖，試探究∠B，∠BED，∠D之間的數量關系．

分析：

這個模型的結論是∠B＝∠BED＋∠D，形式也類似于外角定理，因此，我們同樣也可以将∠B轉化為外角，這時自然可以發現，同位角和内錯角均可實現．

證明：

設BE，CD交于點F

∵AB∥CD

∴∠1＝∠B

在△EFD中，∠1＝∠BED＋∠D

∴∠B＝∠BED＋∠D

2、借助外角，掌握基本模型

例：

(3)規形圖模型

如圖，試探究∠A，∠B，∠C，∠BDC之間的數量關系．

分析：

這個模型很像數學工具圓規，故稱規形圖，結論是∠A＋∠B＋∠C＝∠BDC，這個模型，筆者在2017年暑假常州行者聚會學習時，曾受益匪淺，後整理成文《暑假特輯12 從知識體系的順序過渡，談對“規形圖”結論證明的再認識》，這裡我們還是選擇兩種最經典的外角證法．

證明：

法1：

如圖，延長BD交AC于點E

在△ABE中，∠1＝∠A＋∠B

在△DEC中，∠BDC＝∠1＋∠C

∴∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C

法2：

如圖，連接AD并延長至點E

在△ABD中，∠3＝∠1＋∠B

在△ADC中，∠4＝∠2＋∠C

∴∠BDC＝∠3＋∠4＝∠1＋∠B＋∠2＋∠C

＝∠BAC＋∠B＋∠C

2、借助外角，掌握基本模型

例：

(4)翻折模型

如圖，AD是△ABC的角平分線，E是BC延長線上一點，∠EAC＝∠B，∠ADE與∠DAE相等嗎？

分析：

本題的結論是∠1＋∠2＝2∠A，利用多邊形内角和也能證明，簡單過程如下，∠1＋∠2＝360°－(∠B＋∠C)－(∠A'DE＋∠A'ED)＝360°－(180°－∠A)－(180°－∠A')＝2∠A．但是我們也可以利用外角，翻折的常用輔助線作法是作對應點的連線，我們不妨連接AA'．

證明：

連接AA'

由題意得，A'D＝AD，∠3＝∠4

A'E＝AE，∠5＝∠6

在△ADA'中，∠1＝∠3＋∠4＝2∠4

在△AEA'中，∠2＝∠5＋∠6＝2∠6

∴∠1＋∠2＝2∠4＋2∠6＝2∠BAC

3、優解典例分析

例1：

如圖，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度數．

分析：

這樣的題，粗看無法下手，這就需要利用外角，或從中抽離出基本模型，通過結論求解．下面給出2種解法．

解答：

法1：

如圖，設AC交BE于M，AD交BE于N

在△MEC中，∠1＝∠C＋∠E

在△BND中，∠2＝∠B＋∠D

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋∠1＋∠2＝180°

法2：

如圖，設BD，CE交于點F，

易知∠A＋∠C＋∠D＝∠CFD，

在△BEF中，∠1＝∠B＋∠E

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠1＋∠CFD＝180°

3、優解典例分析

例2：

如圖，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度數．

分析：

本題中，∠D，∠C，∠B在一個四邊形中，∠E，∠F在一個四邊形中，∠A，∠G在一個三角形中，位置很分散，這就需要将其盡可能靠攏，顯然，∠A，∠G的和可以等于一個外角，想到設AB，GF的交點是H，接下來，就可以用多種方法了．

解答：

法1：

如圖，設AB，GF交于點H

在△AGH中，∠A＋∠G＝∠1，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G

＝∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠1

∵∠B＋∠C＋∠D＋∠2＝360°

∠3＋∠E＋∠F＋∠1＝360°

∴∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠1

＝720°－(∠2＋∠3)＝540°

法2：

連接BF，∴∠A＋∠G＝∠1＋∠2

∴∠A＋∠CBA＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFH＋∠G

＝∠1＋∠2＋∠CBA＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFH

＝∠CBF＋∠BFE＋∠FED＋∠D＋∠C＝540°

3、優解典例分析

例3：

如圖，AD是△ABC的角平分線，E是BC延長線上一點，∠EAC＝∠B，∠ADE與∠DAE相等嗎？

分析：

這是一道教科書上的原題，一道經典的外角題，我們拿到題時，首先思考，這兩個角可以扮演什麼角色，顯然，圖中∠DAE可看作組合角，即∠DAC與∠CAE的和，而∠ADE若看作内角，無法施展，聯想到外角， 是∠B與∠BAD的和，則問題可解．

解答：

∵AD是△ABC的角平分線

∴∠BAD＝∠CAD

在△ABD中，∠ADE＝∠B＋∠BAD

∠DAE＝∠CAD＋∠EAC

∵∠EAC＝∠B

∴∠ADE＝∠DAE

思考題

Rt△ABC中，∠C＝90°，點P是一動點．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．

（1）若點P在邊AB上運動，則∠α、∠1、∠2之間的關系為：______；

（2）若點P運動到邊AB的延長線上，則∠α、∠1、∠2之間有何關系？猜想并說明理由．

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編輯：劉子光

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