2022年全國高中數學聯賽江西省預賽第10題如下:
王揚老師給出了一個簡便的解法:
這裡用到了一個二級結論:
該不等式可以使用赫爾德不等式來證明。這裡給出幾個題目,通過這幾個題目可以看到使用基本不等式就可以解決這個問題,并能推出一般形式,這個過程又可以引出一些相關知識點:先來看一道題目:
将變量增加一個,有以下題目:
可以看到,前面的二級結論就是這個例題11(寫的形式有所不同),這個可以推出下面一般形式:
這個一般化的結論可以使用例題中的方法來證明,不過需要用到二項式的一個變式,如下:
當然,也可以使用如下構造函數加琴生(Jensen)不等式的方法來證明:
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