原題呈現
（2018·北京市初二數學競賽試題）三個斜邊彼此不等的等腰直角三角形△ADC，△DPE和△BEC，如圖1所示，其中AD=CD，DP=EP，BE=CE，∠ADC＝∠DPE=∠BEC＝90°.
求證：P是線段AB的中點.
證法1 如圖2
延長DP至點F，使DP=PF，連結BF、EF、AP、BP.
∵DP=PF，EP⊥DF
∴△DEP≌△FEP（SAS）
∴∠PDE=∠PFE=45°，DE=FE
∴∠DEF=90°
∵∠CED＋∠CEF=∠BEF＋∠CEF=90°
∴∠CED=∠BEF
又CE=BE
∴△CDE≌△BFE（SAS）
∴BF=CD=AD，∠CDE=∠BFE
∵∠ADP=∠ADC＋∠CDP＝90°＋（∠CDE－∠CDP）＝∠CDE＋45°
∠BFP＝∠BFE＋∠PFE=∠BFE＋45°
∴∠BFP=∠ADP
∴△APD≌△BPF（SAS）
∴AP=BP，∠APD＝∠BPF
∴∠APE＋∠BPE=90°＋∠APD＋90°－∠BPF＝180°
∴A、P、B三點在同一條直線上
即P為線段AB的中點.
證法2，如圖3
連結AP，将△APD繞點P逆時針旋轉90°，得到△EPQ，連結QA、QB、QP、QD、QE.
設∠DPQ＝α，DQA=β
∵∠DPQ＋∠QPE=90°，∠APD=∠QPE
∴∠APQ=∠DPE＝90°
又AP=QP
∴△APQ是等腰直角三角形
∴∠PAD=∠PQE=45°－α
又∠PQD=45°－β
∴∠EQD=∠PQE＋∠PQD=90°－α－β
又∠ADQ=180°－α－β
∴∠CDQ=360°－90°－（180°－α－β）=90°＋α＋β
∴∠EQD＋∠CDQ＝180°
∴CD∥EQ
又CD=AD=EQ
∴四邊形CDQE是平行四邊形
∴CE=QD=BE，∠CDQ＝∠CEQ
∵∠ADC=∠CEB=90°
∴∠ADQ=∠BEQ
又由旋轉可知AD=EQ
∴△ADQ≌△QEB（SAS）
∴QA＝QB，∠DAQ=∠BQE=α
∴∠PQB=∠PQE＋∠BQE=∠PAD＋∠QAD＝45°＝∠PQA
又QP=QP
∴△APQ≌△BPQ（SAS）
∴∠APQ=∠BPQ=90°，AP=BP
∴A、P、B三點在同一條直線上
即P為線段AB的中點.
證法3利用同一法來進行證明。
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