祖暅原理——解決不規則幾何體體積的利器，高考數學立體幾何難點一課通關，借助面積相等構造規則幾何體是關鍵。
如果我們遇到不規則幾何體，怎樣去求體積呢？有人說 “積分”，有人說“轉化”，積分在新課程新教材中已經删除了，很多橢球型相關幾何體也無法通過普通的轉化來解決。
那怎麼辦呢？這裡就給出了我們這節課的内容——祖暅原理，借助祖暅原理來處理不規則幾何體的體積問題。
我們先看一下祖暅原理：數學家祖沖之、祖眶父子在《綴術》提出祖暅原理：“幂勢既同，則積不容異”，利用牟合方蓋的體積推導出球的體積公式，我們理解一下：隻要兩個等高的幾何體在所有等高處的水平截面的面積都相等，則這兩個幾何體的體積相等。反之不成立，如果兩個幾何體體積相等，不能說這兩個幾何體等高處面積相等。
通過這個祖暅原理我們就可以将不規則的難以研究的幾何體的體積問題通過構造在等高處面積相等來轉化成我們熟悉的幾何體來研究。隻要滿足在所有的等高處面積相等，我們就可以得到體積相等。
第一問：利用祖暅原理推導半徑為R的球的體積公式時，可以構造一個圓柱挖去一個圓錐，為什麼這兩個幾何體體積相等呢？我們看一下它是否滿足祖暅原理。通過證明我們發現在任意等高處所對應的S1和S2總是相等的。根據祖暅原理，就可以得到前面半球的體積就等于後面圓柱減去圓錐的體積，進而借助這麼一個規則的幾何體，我們求出球體的體積。
第二問：借助第一問的方法，求橢球型幾何體體積。這裡的難點就是借助圓錐曲線中橢圓的方程求出截面圓的半徑，求出高度為變量d時對應的截面面積，然後根據面積這個代數式的特點聯想已知幾何體在等高處截面面積進行等面積構造。得到半橢球的體積就等于後面這一個圓柱的體積減去圓錐的體積。
我們再次提示，當遇到不規則幾何體的時候，我們需要去構造。構造一個規則的幾何體，使得在任意的等高處截面面積都相等。這種構造不一定是唯一的，我們在立體幾何專欄，用了11節課的時間來研究了這種問題，比如說雙曲線旋轉我們怎麼辦？抛線線旋轉我們怎麼辦？方法都是類似的，大家認真體會一下。如需系統學習高考數學知識系統，請按需選用高考數學總複習專欄，先看目錄，15天通關高中數學全部内容，祝大家高考成功。
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