形如的形式在數學中被定義為複數，其中為虛數單位，、為任意實數。

要說複數的産生，先從數的演變史開始說起。

最初，人們從自然界中啟發，得到了數字1、2、3……，當然還有0，這就是自然數，來源人們對現實世界的認知。

接着，如果1個饅頭要均分給5個人，要怎麼分，每人分多少呢？1段樹枝被折成相等的2半，那一半是多少，怎麼表示呢？人類為了知識的記錄和文化的傳播，一切從簡，就發明了分數，當然也可以寫成小數的形式：

=0.2，=0.5，=0.6等等。

到目前為止，來自于人們對現實世界的直觀總結所建立的數字表達，它有明顯的可參照對象、有軌迹可循、看得見、摸得着、想得到，人們後來就認為這些都是理所當然的，所以就叫它們為有理數。即所有可以表示為分數形式的數都叫有理數，當然自然數也可以表示為分數=0，=1，=3，=2，=5……。

随着人類文化的不斷叠代發展，數學運算和數學表示在不斷的豐富，除了 法、-法，根據類似2 2 2（3個2相加）難道就不能表示為更簡單的形式麼？3x2，于是乘法誕生，因為對于3 3 3 3 3 3 3 3這樣的繁瑣的運算，可以用更簡單的表示8x3，so easy！

文化再次不停地叠代，5x5=25，3x3=9，2x2=4，是否完全可以再簡單地表達？人類總是向着大道至簡的目标前進，于是5x5==25，2x2==4……，有了平方數。

人類文化在叠代中不斷地向前狂奔，有些人就腦洞大開了，不對呀！4是2的平方，9是3的平方，16是4的平方，媽呀！也就是說1的平方是1，0的平方是0，那麼在平方結果中，隻有0、1、4、9、16、25……會出現，那中間是不是少了很多數啊，誰的平方是2呢？又誰的平方是3呢？誰的平方是5？……連續自然數平方的結果并不是連續的自然數！

好吧，既然誰也不知道？那就給它個定義吧，難道還有數學不能描述的世界嗎？數學就是為大世界服務的，必須補上這個漏洞，好嘞，的平方就是2，它表示=2，類似的=3，甚至還有=5等等。

突然感覺不好把握了，那麼既然已經定義并存在了，它到底是多少啊？因為1的平方是1，2的平方是4，的平方是2，所以肯定比2小，也肯定比1大，但是能具體和其他數比較一下嗎？至少知道大概是多少吧？突然發現，這已超出當時人類的腦洞了，不好理解了。

畢達哥拉斯（約公元前580至公元前500）是古希臘的大數學家。他提出“萬物皆為數”的觀點：數的元素就是萬物的元素，世界是由數組成的，世界上的一切沒有不可以用數來表示的，數本身就是世界的秩序。

為了理解，為了客觀形象地認識它，就讓現實世界來描述它，在幾何學中，邊長為1個單位的正方形，其面積很好算，比如邊長為1米的正方形土地面積為1x1=1平方米，那麼它的對角線是多少？根據勾股定理，設對角線長為，那麼 =,即=1 1=2,好了，=，對，那個對角線的長度就是你們要找的的大小。

但是，究竟比1或者2或者任何其他整數大多少，能給一個大小比例嗎？就像=0.6一樣。

畢達哥拉斯學派的弟子希伯索斯（Hippasus）發現了一個驚人的事實，一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的（若正方形的邊長為1，則對角線的長不是一個像往常一樣講道理的數，它不是正常數），它真的沒有辦法用分數來表示，可是它确實存在啊！這一不可公度性與畢氏學派的“萬物皆為數”（有理數）的哲理大相徑庭。這一發現使該學派領導人惶恐，認為這将動搖他們在學術界的統治地位，于是極力封鎖該發現的流傳，希伯索斯被迫流亡他鄉，不幸的是，還是遇到了畢達哥拉斯學派的門徒，在一條海船上被殘忍地投入了水中殺害。

沒天理啊，沒有道理啊！于是一個沒有道理的數（無理數）就這樣出現在了數學領域中。歐幾裡得（約公元前330年至公元前275年）《幾何原本》中就提出了一種證明是無理數的經典方法。圓周率、以及後來發現的自然常數= ……等等都是無理數。

“萬物皆為數”如果繼續有用，那麼就得讓數域繼續膨脹，于是把無理數拉進隊伍裡！有理數和無理數合在一起被稱為實數，為什麼叫作實數，這是因為和虛數相對應的，有實就有虛，好了，就引出來今天的主角，虛數！

如果說實數是來源于對自然界數量的刻畫（英文中标量、也叫純量scalar,就是刻畫的意思），有理數是來源于對比列的刻畫，無理數是來源于對某種長度的刻畫，那麼，虛數就是人為制造的，是在現實生活中完全找不到實際相應背景的，它用英文單詞imaginary來表示，imaginary的英文原意即為虛構的、想象的、假象的，簡寫為。

為什麼非要假想一個這樣實際不存在的數呢？因為在當時的數學公理體系中，時常有以下這樣的現象發生。

對于1元2次方程=1的解是1和-1，如果是=-1呢？它有解嗎？

數學從某種程度上來說，應該是對稱的、完美的、無所不包的、沒有漏洞的，我不能無視=-1，好吧，當然我們也可以回避它，在數學史上，大家就是這麼做的，“我為什麼要解決這個問題？”，對于此類問題很長時間都沒有需要解決的緊迫性。

一個正數乘一個正數為正數，一個負數乘一個負數也是正數，因此，一個數自乘之後必然為正數，不管這個數是正數還是負數。也正因為如此，古希臘學者丢番圖雖然知道1元2次方程有2個根，但其中有一個為虛數時，他甯可認為這個方程是不可解的。一直到16世紀，數學家們都普遍認可丢番圖這種處理虛數的辦法，“我們就是無視它！”。

事情的轉機是這樣的，人類不僅僅滿足于求2次方程。

16世紀意大利米蘭學者卡當（1501至1576）在1545年發表的《大術》一書中，公布了3次方程的一般解法，被後人稱之為“卡當公式”，由它奠基了3次方程解的通用公式。

對于3次方程 p q = 0的其中一個解為：

=

比如：- 15- 4 = 0

就會得到= ，對于的出現，按照傳統的認識，我們肯定會一臉懵逼，按照以前的定論，這個方程就該無解了，一出現負數開平方，就像=-1這樣，我們會認為是沒有結果的，這一頁會被翻過去的。但是如果你把4帶入-15- 4 = 0，你會發現它是有解的，而且該方程通用解法的另外兩個解公式，也會出現。是公式錯了嗎？也不是啊，當沒有出現負數開方的時候，依靠公式計算的結果就是正确的啊！

好吧，那麼就讓我們暫且勇敢一點，認為是沒有錯誤的，因為=121，我們暫且可以認為=11，

因為，按照運算規則得到的=2 11，

所以得到= =2 2-=4，嗯嗯，結果很正确。是的，雖然在運算途中出現了，但在結果裡它沒有出現，而且我們得到了正确的結果。諸如類似這種負數開方在很多數學運算中都會出現，如果你允許它的存在，繼續計算下去，它不但不影響結果的正确性，而且它有助于得到正确的結果，它已成為諸多數學運算得到正确結果的有效橋梁，說明它很科學，它的存在很有必要。

既然它是必要的，我們為什麼就不承認它呢，好吧，我們就認為=，它是1個虛數單位，并且規定= -1,= 1,= -1,但是它實在不是我們現實世界中的所見即所得，所以就給它起了個名字“虛數”，純粹虛構的數。

每次數域領地擴大的時候，都會沖擊着某些人的靈魂， “虛數”這個名字本身就代表着最初的偏見。16、17世紀歐洲大多數數學家都不承認負數是數，帕斯卡（法國數學家1623至1662）認為從0減去4是純粹的胡扯，還有畢達哥拉斯學派把發現無理數的希伯索斯扔到海裡一樣，虛數的出現還是引起了數學界的一片困惑，當時很多大數學家都不承認虛數，萊布尼茨（德國數學家1646至1716）在1702年說：“虛數是神靈遁迹的精微而奇異的隐避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩栖物”。1633年，笛卡爾（法國數學家1596至1650）正式給出了“虛數”的稱謂，不過他并不承認虛數的存在。牛頓也是如此，他認為虛數并不能夠在他的物理世界中得到意義，所以拒不承認虛數的存在。歐拉（瑞士數學家1707至1783）在《代數指南》中說“所有如、、、之類的表達式，皆不可能，或者說為虛數……而在這類數中，我們可以真正地斷言，它們既非零，非大于零，亦非小于零，這必然使它們成為虛幻的或不可能的”。

好吧，我們來正式地梳理一下“虛數“的成長史：

拉斐爾.邦貝利（意大利數學家1526至1572）在1572年發表的《代數學》中總結整理了卡當《大術》中的發現，提出負數的平方根很有可能是一種全新類型的數字，他稱之為“複雜的數”，而且他還詳細的介紹了“複雜的數”計算規則。

法國數學家笛卡爾1637年在其《幾何學》中第一次給出“虛數”的名稱，并和“實數”相對應。

棣莫弗（法國數學家1667至1754）在1722年發現了著名的和虛數運算有關的棣莫弗定理。

達朗貝爾（法國數學家1717至1783）在1747年指出，如果按照多項式的四則運算規則對虛數進行運算，那麼它的結果總是的形式（、都是實數）

歐拉在1777年《微分公式》第一次使用符号來表示。

威塞爾（挪威測量學家1745至1818）在1797年試圖給予這種虛數以直觀的幾何解釋，然而沒有得到學術界的重視。

阿爾岡（德國數學家1777至1855）在1806年公布了虛數的圖象表示法。

即所有實數能用一條數軸表示，同樣，虛數也能用一條數軸來表示，但是兩個數軸是無關的，在數學的平面上，無關的維度最直觀的表達就是正交，即把實軸和虛軸正交，橫軸上取全部的實數的點，縱軸上取全部虛數的點，那麼平面上的其他點，就是表示那個數既含有實也含有虛的，這下用一個平面就包含了所有的數系。

高斯在1831年，用實數組（，）代表複數，并建立了複數的某些運算，使得複數的某些運算也像實數一樣地“代數化”。也是他在1832年第一次提出了“複數”這個名詞。高斯不僅把複數看作平面上的點，而且還看作是一種向量，并利用複數與向量之間一一對應的關系，闡述了複數的幾何加法與乘法。

1831年高斯認為複數不夠普及，次年他發表了一篇備忘錄，奠定複數在數學的地位。柯西及阿貝爾的努力，掃除了複數使用的最後顧忌，後者更是首位以複數研究著名。

至此，複數理論比較完整和系統地建立起來。

這個大廈就是複數體系，英文為complex number, complex就是複雜的、複合的意思，複數就是複合了實數和虛數的複雜數系，因此可以表示為，是實部，是虛部，和的大小分别是對實部和虛部大小的刻畫，當為0時，那就是在實數域裸奔，當為0時，那就是在虛數域飛翔，所以有實軸和虛軸的平面也可以稱為複平面，任何一個複數也可以表示為有序實數對，它們分别表示一個複數在實、虛兩個維度的大小。

與純粹的實數不同，在複數集合中有可能不存在大小關系，也就是說兩個複數之間也許不能比較大小。任何量的大小比較都是在1個維度限定下進行的，當超越1個維度時，量的傳統大小比較将毫無意義。回想我們最初的定義：數字是那些能夠由小到大進行排列的符号，在這個意義上，複數确實不是數字。這并不意外，在它的定義平面上，它們還有自己的方向屬性，這也使數變得越來越抽象了。但是，複數集合是強大的，它包含實數集合，因為隻需要在複數中令虛數前面的系數為0就可以了。

複數的存在，保證了n次方程根的完備性，隻要允許“真根”（正實根）、“假根”（負實根）和“虛根”（複數根）存在，n次方程将有n個根，一個方程解的數量與它的次數相同，這是”代數基本定理“。

歐拉和高斯用複數來解決代數和數論。

哈密頓（愛爾蘭數學家1805至1865）用複數來研究物理，并根據複數發明四元數理論。

柯西和高斯設計了适用于複數的微積分，被證明非常強大。

法國數學家雅克.哈達瑪說：“實數領域中兩個事實之間的最短路徑經由複數領域“

下面就是數的進化史，不斷有新數被編進隊伍，數也越來越抽象，但也越來越強大。

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