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數學無理數如何約等于無限小數

生活更新时间:2025-02-21 20:28:31

數學無理數如何約等于無限小數（無理才能走遍天下）1

根據定義，實數可以分為兩大類：一類可以表示為分數，另一類則無法表示為分數。

數學無理數如何約等于無限小數（無理才能走遍天下）2

為了盡量避免歧義，還是做個簡要聲明如下。

數學無理數如何約等于無限小數（無理才能走遍天下）3

根據有理數的定義，我們可以證明有理數像自然數一樣多，有無窮多個。但是即便數量如此之多，全部有理數可以塞進一個任意小的開區間内，也就是說全部有理數的大小是0。如果用一個容器把這些數字一個個的擺放進去，這個容器可以任意小。

接下來，我們計算這個有理數集的大小。

第一步：随意取一個自然數m，對Q中任意有理數qn，可以構造一個開區間，使得qn在這個開區間中。如下即為開區間構造，以及這個開區間的長度。

數學無理數如何約等于無限小數（無理才能走遍天下）4

第二步：所有有理數的大小，小于所有這樣的開區間的長度之和。以L(Q)表示Q的大小，即有下述關系：

數學無理數如何約等于無限小數（無理才能走遍天下）5

第三步：由于m是随意取值的自然數，當m趨于無窮大時，就可以得到L(Q)的值。

數學無理數如何約等于無限小數（無理才能走遍天下）6

在Rudin編著的《數學分析》，或者國内學者編著的《實變函數》中，都曾經給出有理數的“數量”嚴格小于無理數“數量”的證明。其實，通過對有理數的大小求和，可以從另一個角度“發現”這個事實。

實軸的大小是無窮（也可以在某個長度不為0的區間内讨論），而有理數的大小是0；
實軸由有理數和無理數組成。

所以，無理數更多一些咯。。。最後這個不是嚴格證明，僅供娛樂！

數學無理數如何約等于無限小數（無理才能走遍天下）7

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