(文章序列号:y3)
話題:#科學# #數學# #黎曼幾何#
小石頭/編
計算半徑為 r(>0) 的圓Cʳ上,弧度為θ的圓心角對應的弧長s是非常簡單的事情,
由于,Cʳ的周長2πr實際上是弧度為2π的圓心角對應的弧長,所以得到,s=2πr⋅θ/2π=rθ。
但是,若R處于流形中,我們又該如何計算呢?
任意維度的歐氏空間 ℝⁿ 上的 恒等映射,都是 自身到自身 光滑同胚,于是 構成的流形。考慮流形 ℝ 到 ℝ² 的光滑映射,
它在 ℝ² 中的像就是 Cʳ。
我們在 ℝ 中取長度為θ開區間 V=(a, b) ,則 弧f(V)的長度就是所求s。如圖1,将V平均分為v個小區間,令x₁=a,xᵥ₊₁=b,這些分割點的像 f(x₁),⋯,f(xᵥ₊₁) 同時也把弧f(V) 分為v個弧長分别為 s₁, ⋯, sᵥ 的小弧度,小弧長度之和就是s。
圖1:計算弧長
每個小區間 (xᵢ, xᵢ₊₁),都對應 導射 df|ₓᵢ ,它是 xᵢ 處切空間 Tℝₓᵢ 到 f(xᵢ) 處的切空間 Tℝ²的線性映射,又因為 Tℝₓᵢ就是ℝ, 所以 Δxᵢ=|xᵢ₊₁-xᵢ| 也就是 Tℝₓᵢ 中的切向量,故 df|ₓᵢ(Δxᵢ) 是 Tℝ²中的切向量,同時也是 Cʳ 在 f(xᵢ) 點 的切向量。
我們知道,當v趨近無窮大時,Δxᵢ趨近0,于是 弧長 sᵢ 趨近 弦長 ǁf(xᵢ₊₁)-f(xᵢ)ǁ,而此時,弦向量 f(xᵢ₊₁)-f(xᵢ) 也将逼近 df|ₓᵢ(Δxᵢ) ,于是有,
進而,
至此,問題關鍵轉變為:求 Tℝ² 中向量 df|ₓ(1) 的長度,這個根據《矢量分析》的知識有,
注:ǁxǁ 表示向量x的長度,也叫模或範數;< x, y> 表示向量x和y的内積(為了區别于二元坐标向量,本系列一律使用尖括号表示内積)。
于是,
這與我們一開始計算出來的結果一緻。
若将上面的流形從 ℝ² 替換為 S²,則光滑映射,
在S² 中的像是 Cʳ,(當然,這裡需要規定 r < 1)。
用類似上面的方法,同樣可以得到 ⑴,所以關鍵是:求 TS² 中向量 df|ₓ(1) 的長度,這有,
這與前面的結果相同,故,最終的弧長也和前面完全一樣。
實際上,對于任何光滑流形 M 中的任何光滑曲線f: ℝ→M 的弧長s的計算,都可以 推導 出公式 :
所以,問題的關鍵是:
- 求空間 TM 中向量 df|ₓ(1) 的長度 ǁdf|ₓ(1)ǁ。
這樣就将,流形中任意兩點間的任意弧長的度量問題,轉變為,對于切空間中切向量長度的度量問題。也即是說,我們隻需要在切空間中定義切向量h的度量ǁhǁ,就可以通過 ⑴,在流形中誘導出弧長度量。而根據《矢量分析》的知識知道:
因此,最終的關鍵是,要給M的每個點x對應的切空間TMₓ 定義一個内積 <⋅, ⋅>,更具體地說,我們需要定義一個從M到全體内積的光滑映射g,對于每個 x∈M,有 g(x) = <⋅, ⋅>:TMₓ×TMₓ→ℝ,而由《高等代數》的知識知道,<⋅, ⋅> 是TMₓ 上的二重線性函數,并且必須滿足:
- 對稱性:<u, v> = <v, u>;
- 正定型:<u, u> ≥ 0 且 <u, u> = 0 ⇔ u=0;
這個映射g就是大名鼎鼎的黎曼度量(riemannian metric),定義了黎曼度量的光滑流形稱為黎曼流形(riemannian manifold)。
圖2:黎曼度量
我們知道線代空間加入内積就變成了内積空間,實際上所謂加入黎曼度量,就是以光滑的逐點方式,讓流形上的每個切空間變成内積空間的過程。
内積可以很多,我們熟悉的的向量點乘:
稱為歐氏内積。一遍來說,對于流形M的不同的切空間可以定義不同的内積,隻要保證黎曼度量g是光滑映射就可以了,但是我們也可以對所有切空間定義同一個内積,比如:讓S²的所有切空間都是歐氏内積,實際上歐氏空間 ℝⁿ 自然就具有 歐氏内積,所以它當然也就是 黎曼流形了。
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