（文章序列号：y3）

話題：#科學# #數學# #黎曼幾何#

小石頭/編

計算半徑為 r(>0) 的圓Cʳ上，弧度為θ的圓心角對應的弧長s是非常簡單的事情，

由于，Cʳ的周長2πr實際上是弧度為2π的圓心角對應的弧長，所以得到，s=2πr⋅θ/2π=rθ。

但是，若R處于流形中，我們又該如何計算呢？

任意維度的歐氏空間 ℝⁿ 上的 恒等映射，都是 自身到自身 光滑同胚，于是 構成的流形。考慮流形 ℝ 到 ℝ² 的光滑映射，

它在 ℝ² 中的像就是 Cʳ。

我們在 ℝ 中取長度為θ開區間 V=(a, b) ，則 弧f(V)的長度就是所求s。如圖1，将V平均分為v個小區間，令x₁=a，xᵥ₊₁=b，這些分割點的像 f(x₁),⋯,f(xᵥ₊₁) 同時也把弧f(V) 分為v個弧長分别為 s₁, ⋯, sᵥ 的小弧度，小弧長度之和就是s。

圖1：計算弧長

每個小區間 (xᵢ, xᵢ₊₁)，都對應 導射 df|ₓᵢ ，它是 xᵢ 處切空間 Tℝₓᵢ 到 f(xᵢ) 處的切空間 Tℝ²的線性映射，又因為 Tℝₓᵢ就是ℝ， 所以 Δxᵢ=|xᵢ₊₁-xᵢ| 也就是 Tℝₓᵢ 中的切向量，故 df|ₓᵢ(Δxᵢ) 是 Tℝ²中的切向量，同時也是 Cʳ 在 f(xᵢ) 點 的切向量。

我們知道，當v趨近無窮大時，Δxᵢ趨近0，于是 弧長 sᵢ 趨近 弦長 ǁf(xᵢ₊₁)-f(xᵢ)ǁ，而此時，弦向量 f(xᵢ₊₁)-f(xᵢ) 也将逼近 df|ₓᵢ(Δxᵢ) ，于是有，

進而，

至此，問題關鍵轉變為：求 Tℝ² 中向量 df|ₓ(1) 的長度，這個根據《矢量分析》的知識有，

注：ǁxǁ 表示向量x的長度，也叫模或範數；< x, y> 表示向量x和y的内積（為了區别于二元坐标向量，本系列一律使用尖括号表示内積）。

于是，

這與我們一開始計算出來的結果一緻。

若将上面的流形從 ℝ² 替換為 S²，則光滑映射，

在S² 中的像是 Cʳ，（當然，這裡需要規定 r < 1）。

用類似上面的方法，同樣可以得到 ⑴，所以關鍵是：求 TS² 中向量 df|ₓ(1) 的長度，這有，

這與前面的結果相同，故，最終的弧長也和前面完全一樣。

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實際上，對于任何光滑流形 M 中的任何光滑曲線f: ℝ→M 的弧長s的計算，都可以 推導 出公式 ：

所以，問題的關鍵是：

• 求空間 TM 中向量 df|ₓ(1) 的長度 ǁdf|ₓ(1)ǁ。

這樣就将，流形中任意兩點間的任意弧長的度量問題，轉變為，對于切空間中切向量長度的度量問題。也即是說，我們隻需要在切空間中定義切向量h的度量ǁhǁ，就可以通過 ⑴，在流形中誘導出弧長度量。而根據《矢量分析》的知識知道：

因此，最終的關鍵是，要給M的每個點x對應的切空間TMₓ 定義一個内積 <⋅, ⋅>，更具體地說，我們需要定義一個從M到全體内積的光滑映射g，對于每個 x∈M，有 g(x) = <⋅, ⋅>：TMₓ×TMₓ→ℝ，而由《高等代數》的知識知道，<⋅, ⋅> 是TMₓ 上的二重線性函數，并且必須滿足：

• 對稱性：<u, v> = <v, u>；
• 正定型：<u, u> ≥ 0 且 <u, u> = 0 ⇔ u=0；

這個映射g就是大名鼎鼎的黎曼度量（riemannian metric），定義了黎曼度量的光滑流形稱為黎曼流形（riemannian manifold）。

圖2：黎曼度量

我們知道線代空間加入内積就變成了内積空間，實際上所謂加入黎曼度量，就是以光滑的逐點方式，讓流形上的每個切空間變成内積空間的過程。

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内積可以很多，我們熟悉的的向量點乘：

稱為歐氏内積。一遍來說，對于流形M的不同的切空間可以定義不同的内積，隻要保證黎曼度量g是光滑映射就可以了，但是我們也可以對所有切空間定義同一個内積，比如：讓S²的所有切空間都是歐氏内積，實際上歐氏空間 ℝⁿ 自然就具有 歐氏内積，所以它當然也就是 黎曼流形了。

——[END]——

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