發展學生空間觀念，培養學生核心素養

——《圓的面積》教學設計

一、課前思考

《數學課程标準》（2022版）指出：空間觀念主要是指對空間物體或圖形的形狀、大小及位置關系的認識。能夠根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描繪的實際物體；想象并表達物體的空間方位和相互之間的位置關系；感知并描繪圖形的運動和變化規律。空間觀念有助于理解現實生活中的空間物體的形态與結構，是形成空間想象力的經驗基礎。

在學業要求方面，《數學課程标準》（2022版）指出：會用圓規畫圓，能描述圓和扇形的特征；知道圓的周長、半徑和直徑，了解圓的周長與其直徑之比是一個定值，認識圓周率；會計算圓的周長和面積，能用相應公式解決簡單的實際問題。

在教學提示方面，《數學課程标準》（2022版）指出：圓的教學可以列舉生活中的實例，引導學生概括圓的特點，利用圓規畫圓，加深對圓的理解。讓學生借助操作探究和掌握圓的周長和面積公式，解決實際問題。

人教版教材關于圖形與幾何的内容安排如下：

《圓的面積》在整個小學數學幾何教學中有着特殊的地位和作用，圓是小學階段唯一的曲線圖形,也是小學數學平面幾何部分最後一個平面圖形。在之前的學習中，學生已經學習過長方形、正方形等平面圖形以及它們的周長、面積計算，也直觀地認識過圓。長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形等都是直線圖形，而圓是曲線圖形。從研究直線圖形到研究曲線圖形，對學生而言是一種跨越和挑戰。因為研究曲線圖形的思想、方法與直線圖形相比，是有變化和提升的。因此，通過對圓的研究，學生不僅需要掌握圓的一些基礎知識，還需要通過學習，感受“化曲為直”“等積變形”“極限”等數學思想方法，進一步發展數學思維能力和問題解決的能力，增強空間觀念，發展數學思維，提升核心素養。

縱觀人教版、蘇教版、北師大版、冀教版關于“圓的面積”的編排，大緻可以分為兩類：一類是直奔主題，直截了當，如北師大版和人教版；另一類是通過估計猜測，推導公式，如蘇教版。

1．類型一：直奔主題，直截了當。

人教版教材在編排“圓的面積”教學時，創設了這樣一個問題情境：每平方米草皮8元，這個圓形草坪的占地面積是多少平方米？引導學生提問：怎樣計算一個圓的面積，引發學生探求圓面積的内在需要。在教學中，教師引導學生想一想能否把圓轉化成以前學過的圖形，從而推導出圓面積的計算公式。

北師大版在編排“圓的面積”時，直接提問：如何得到一個圓的面積呢？學生以往的經驗是數格子，但是由于圓是一個曲線圖形，會出現不滿整格的現象，這種方法僅能求出一個圓的大約面積，不能迅速準确地求出圓的面積，顯然是不方便使用的。基于已有的數學活動經驗，學生順理成章地想到能否把圓轉化成以前學過的圖形，在這個過程中，強化了學生轉化的意識，提升了遷移類推的能力。

2．類型二：估計猜測，推導公式。

蘇教版教材在編排“圓的面積”教學時，設置了兩個例題，例7是引導學生體會圓的面積與半徑的平方之間的關系。在此基礎上，例8則是把圓等分成若幹份，然後拼成長方形來推導出圓的面積公式。

圓的面積公式推導方法有多種，通過對不同版本的教材對比，不難發現大部分教材都是将分割後的圓拼成近似的長方形，然後通過比較長、寬、圓的半徑之間的關系，推導出圓的面積計算公式的。

二、教學設計

（一）教學目标

1．經曆操作、觀察、驗證、讨論和歸納等數學活動的過程，探索并掌握圓的面積公式，能正确計算圓的面積， 并能應用公式解決相關的簡單實際問題。

2．進一步體會“轉化”的數學思想方法，感悟極限思想的價值，培養運用己有知識解決新問題的能力，增強空間觀念，發展數學思考。

3．體驗數學與生活的聯系，感受用數學的方式解決實際問題的過程，提高學習數學的興趣。

（二）教學重點

圓的面積計算公式的推導和應用。

（三）教學難點

圓的面積推導過程中，極限思想（化曲為直）的理解。

（四）資源與工具

教具：多媒體課件、面積轉化教具、圓形紙片。

學具：書、4等份、8等份、16等份教具、學習單。

（五）教學過程

1．情境引入，積澱空間觀念

（播放視頻）同學們要比較12寸蛋糕和兩個6寸蛋糕的大小，也就是比較他們的什麼？（對，面積）這節課我們一起來探究圓的面積。（闆書課題：圓的面積）

【設計意圖】選取貼近學生生活的實際問題，激發學生的探究積極性。

2．合作交流，建構空間觀念

（1）回顧平面圖形的面積公式及推導過程，遷移“轉化”的思想方法。

①同學們，當我們還不會計算平行四邊形的面積時，是用什麼方法推導出了平行四邊形的面積公式？三角形呢？梯形呢？

②通過回憶之前學過的平面圖形面積公式的推導過程，你發現了什麼？

預設：三種平面圖形都是用“剪”“拼”的方法轉化成了學過的圖形，進而推導出了面積計算公式

③設疑：你打算用什麼方法研究圓的面積呢？

（2）學生動手操作，教師參與指導

（3）作品展示，全班交流

預設1：将圓8等分圖。将小組合作完成的圖形張貼到黑闆上。

（拼成的圖形是近似的平行四邊形）

預設2：将圓16等分圖。将小組合作完成的圖形張貼到上一組的下方。

預設3：将圓32等分圖。将小組合作完成的圖形張貼到黑闆上。

（拼成的圖形是近似的長方形）

課件展示8等分圖、16等分圖、32等分圖、64等分圖，引導學生比較觀察，随着将圓等分份數的增多，拼成的圖形越來越像長方形。

總結：分的份數越多，拼成的上下兩條曲線越來越接近一條直線，左右兩條線也在慢慢發生變化。所以越來越接近一個長方形。

（4）想象無限分，滲透“極限”思想。

通過動手操作，把圓轉化一個近似的平行四邊形，接着，通過觀察發現把圓平均分的份數越多拼成的圖形越接近長方形，最後通過閉眼想象，把圓進行無限分，就轉化成了一個長方形，這樣，我們就成功的解決了“化曲為直”的困難。

（5）觀察比較，推導面積公式

（課件演示剪拼過程）

①觀察轉化後的長方形和原來的圓有什麼聯系？如何利用長方形的面積計算公式推算出圓的面積計算公式的呢？

②小組交流：把讨論的結果記錄在研究單上。

③彙報交流。

④PPT演示：重點突破長方形的長與圓的周長的一半，寬與圓的半徑的對應關系。

小結：如果用S表示圓的面積，圓的半徑為r，那麼S=πr²。

【設計意圖】通過小組合作，互相啟迪，經曆将圓轉化成近似的長方形的過程。讓學生在剪一剪、拼一拼活動中感受化曲為直的妙處，體驗極限思想。對比發現剪拼前的圓與剪拼後的近似長方形之間的對應關系，進而發現圓的面積公式。在推導過程中，由學生觀察、思考、發現、總結出圓的面積計算公式，提高學生探究數學問題的興趣。培養學生的創新意識、實踐能力，發展學生的空間觀念。

3．學以緻用，深化空間觀念

（1）比較12寸蛋糕和兩個6寸蛋糕面積的大小。

（2）基礎練習

公園草地上的一個自動噴灌裝置的射程是10米，它能噴灌的面積是多少？

（3）拓展練習

有兩根長都是6.28m的鐵絲，依依用一根圍成一個正方形，浩浩用另一根圍成一個圓，則兩人誰圍成的的圖形的面積大？

【設計意圖】習題設計層層遞進，對于知識的掌握由淺入深，并且運用學生熟悉的内容，體驗數學來源于生活，應用于生活。興趣驅動，拓寬學生思路，充分為學生提供廣闊的空間。

4．回顧反思

學生暢談收獲，教師強調本節課學習過程中的方法：轉化、化曲為直、等積變形。

布置思考：你還能将圓形轉化成其他直邊圖形來推導圓的面積計算公式嗎？

【設計意圖】帶着疑問走出課堂，延伸知識區域。思考是數學的本質特征，而教數學重在教人思考。教數學必須将啟發學生思考、發展學生思維作為重要的目标追求。

（六）闆書設計

數學文化——神奇割圓術

衆所周知，圓周率是一個開頭為3.14的無限不循環小數，同學們知道古人是如何得到這個數值的嗎？劉徽利用“割圓術”求解了π的數值。盡管現在計算機已經可以将圓周率精準計算到十萬億的位數，也不能停止我們對古人的敬仰。

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