本講内容是在學生認識了 長方體 、 正方體 的面、棱、頂點等結構與特征，理解并熟練掌握了長方體、正方體的表面積、體積和容積的意義及計算方法，能進行幾何體與其展開圖之間的轉化，并能靈活運用這些知識解決實際問題的基礎上，進一步探索比較複雜的此類問題的解題方法。是教材内容的拓展和延伸，加大了空間想象的力度，以發展孩子的空間觀念為主要目的。

（一）長方體和正方體的特征

形體面頂點棱關系長方體

6個相對面完全相同，至少4個面是長方形8個12條相對的4條棱長度相等正方體是特殊的長方體正方體6個6個面完全相同，都是正方形8個12條12條棱長度都相等

（二）長方體和正方體的棱長總和

（三）長方體和正方體的表面積

1.概念：長方體或正方體6個面的總面積，叫做它們的表面積。

2.計算公式：

重點提示：不足6個面的實際問題根據具體情況計算，例如魚缸、無蓋紙盒等。

（四）長方體和正方體的體積、容積

1.長方體和正方體的體積、容積比較

不同點意義不同物體所占空間的大小叫做物體的體積。物體所能容納的體積，叫做這個容器的容積。測量方法不同求物體的體積要從該物體的外部來測量長、寬、高。求物體的容積要從容器的内部來測量長、寬、高。單位名稱不完全相同體積單位一般用：立方米、立方分米、立方厘米。容積一般用體積單位。盛放液體的容器，容積也常用升或毫升來表示。相同點計算公式相同長方體體積（容積）公式=長×寬×高 或正方體體積（容積）公式=棱長×棱長×棱長 或 長方體和正方體的體積（容積）=底面積×高 或重點提示1. 有的物體既有體積，也有容積。如箱子、油桶等。2. 有的物體有體積卻沒有容積。如：石頭、木頭這些實心的物體。3. 既有體積也有容積的物體，它的體積一定比容積大。隻有把容器的厚度忽略不計，容積才可看作與體積相等。

2.體積（容積）單位進率換算：

1立方米=1000立方分米

1立方分米=1000立方厘米

1升=1000毫升

1立方分米=1升

1立方厘米=1毫升

奧數練習題

【題目1】：

一個長方體和一個正方體的棱長之和相等。已知長方體的長是6分米，寬是4分米，高是2分米，求正方體的表面積和體積？

【解析】：

要求出正方體的表面積和體積，必須先求出正方體的棱長。

長方體有12條棱分為3組：4條長、4條寬、4條高；正方體有12條棱，每條棱的長度都相等。

設這個正方體的棱長為x分米，根據題意，可以列出方程：

12x=（6＋4＋2）×4

解得：x﹦4

正方體的棱長為4分米。

所以正方體的表面積為：42×6﹦96（平方分米）。

正方體的體積為：43﹦64（立方分米）。

【題目2】：

一塊長方形鐵片（厚度不計），四個角剪去邊長為2.8分米的正方形，焊成一個長方體鐵皮盒，可以盛水546升。已知這塊長方形鐵皮的長是21.2分米，求長方形鐵皮的面積。

【解析】：

546升﹦546立方分米，即焊成的鐵皮盒的容積為546立方分米。厚度不計，鐵皮盒的容積也就相當于它的體積。

如上圖，鐵皮盒的體積為546立方分米，鐵片盒的高為2.8分米，鐵皮盒底面的長為：21.2－2.8×2﹦15.6（分米）。

所以，鐵皮盒底面的寬為：546÷2.8÷15.6﹦12.5（分米）。

則鐵皮原來的寬為：12.5＋2.8×2﹦18.1（分米）。

由長方形鐵皮原來的長、寬，可以求出它的面積為：

21.2×18.1﹦383.72（平方分米）。

【題目3】：

一個長方體，如果從它的高度方向鋸掉3厘米的一段，正好得到一個正方體，但表面積減少了72平方厘米，原來長方體的體積是多少？

【解析】：

如下圖：

從長方體高度方向鋸掉3厘米的一段，表面積減少部分就是高3厘米的長方體的四個側面和一個上面，同時表面積又增加了一個切面，切面面積正好與原長方體上面的面積相等，互相抵消。因此，剩下正方體表面積比原長方體表面積減少的72平方厘米，就是高3厘米的長方體的側面積。

所以長方體的底面周長為：72÷3﹦24（厘米）。

剩下部分是個正方體，即長方體底面是正方形，所以長方體的底面邊長即所得正方體的棱長為：24÷4﹦6（厘米）。

所以原長方體的體積為：

6×6×（6＋3）﹦324（立方厘米）。

【題目4】：

如圖，一個正方體切去一個長方體後，剩下圖形的體積和表面積各是多少？（長度單位：厘米）

【解析】：

原正方體棱長為8厘米。

在原正方體的一個角上切去一個長方體，表面積減少部分相當于切去長方體的3個面，表面積新增加了三個面恰好是相對的長方體的另外3個面，減少部分和增加部分抵消了，因此剩下圖形的表面積就等于原正方體的表面積：

8×8×6﹦438（平方厘米）。

剩下圖形的體積為：

8×8×8－2.5×2.5×4﹦487（立方厘米）。

【題目5】：

一個長方體水箱，長30厘米，寬42厘米，水箱裡裝着水，并有一個長21厘米，寬15厘米的小長方體鐵塊完全浸沒在水中，當把水中的鐵塊取出後，水面下降了1厘米，鐵塊的高是多少厘米？

【解析】：

把水中的鐵塊取出後，水箱裡的水的總體積減少部分即下降的水的體積，就等于鐵塊的體積：

30×42×1﹦1260（立方厘米）。

根據鐵塊的體積和長、寬，可以求出鐵塊的高為：

1260÷21÷15﹦4（厘米）。

【題目6】：

把一個長8分米，寬6分米，高5分米的長方體木塊，鋸成一個最大的正方體，這個正方體的表面積是多少？體積是多少？

【解析】：

長方體鋸成一個最大的正方體，則這個正方體的棱長等于長方體的最短的棱長，即正方體的棱長是5分米，利用正方體的表面積計算公式S=6a2和體積計算公式V=a3即可解答．

解：長方體鋸成一個最大的正方體，則這個正方體的棱長等于長方體的最短的棱長，即正方體的棱長是5分米，

5×5×6=150（平方分米）

5×5×5=125（立方分米）

答：這個正方體的表面積是150平方分米，體積是125立方分米．

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