數形結合：就是通過數與形之間的對應和轉化來解決數學問題,它包含“以形助數”和“以數解形”兩個方面.利用它可使複雜問題簡單化,抽象問題具體化,它兼有“數的嚴謹”與“形的直觀”之長,是優化解題過程的重要途徑之一,是一種基本的數學方法.

01

用數形結合的思想解題可分兩類

(1)利用幾何圖形的直觀性表示數的問題,它常借用數軸、函數圖象等；

(2)運用數量關系來研究幾何圖形問題,常常要建立方程(組)或建立函數關系式等.

02

熱點内容

在初中教材中，“數”的常見表現形式為: 實數、代數式、函數和不等式等，而“形”的常見表現形式為: 直線型、角、三角形、四邊形、多邊形、圓、抛物線、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函數圖象對應一條直線，二次函數的圖像對應着一條抛物線，這些都是初中數學的重要内容.

【典型例題】

類型一、利用數形結合探究數字的變化規律

．

【思路點撥】

首先計算幾個特殊圖形，發現：數出每邊上的個數，乘以邊數，但各個頂點的重複了一次，應再減去.第1個圖形是2×3-3，第2個圖形是3×4-4，第3個圖形是4×5-5，按照這樣的規律擺下去，則第n個圖形需要黑色棋子的個數是

（n 1）（n 2）-（n 2）=n2 2n．

【答案與解析】

第1個圖形是三角形，有3條邊，每條邊上有2個點，重複了3個點，需要黑色棋（2×3-3）個；

第2個圖形是四邊形，有4條邊，每條邊上有3個點，重複了4個點，需要黑色棋子（3×4-4）個；

第3個圖形是五邊形，有5條邊，每條邊上有4個點，重複了5個點，需要黑色棋子（4×5-5）個；

按照這樣的規律擺下去，則第n個圖形需要黑色棋子的個數是（n 1）（n 2）-（n 2）=n（n 2）.

故答案為n（n 2）=n2 2n.

【總結升華】

這樣的試題從最簡單的圖形入手.找出圖形中黑點的個數與第n個圖形之間的關系，找規律需要列出算式，一律采用原題中的數據，不要用到計算出來的結果來找規律.

舉一反三：

【變式】用棋子按下列方式擺圖形，依照此規律，第n個圖形比第(n-1)個圖形多_____枚棋子．

【答案】

解：設第n個圖形的棋子數為．

第1個圖形，S1=1；

第2個圖形，S2=1 4；

第3個圖形，S3=1 4 7；

第n個圖形，Sn=1 4 … 3n-2；

第（n-1）個圖形，Sn-1=1 4 … [3（n-1）-2]；

則第n個圖形比第（n-1）個圖形多（3n-2）枚棋子．

類型二、 利用數形結合解決數與式的問題

2.已知實數a、b、c在數軸上的位置如圖所示，化簡|a b|-|c-b|的結果是 （ ）.

A.a c B.-a-2b c

C.a 2b-c D.-a-c

【思路點撥】

首先從數軸上a、b、c的位置關系可知：c＜a＜0；b＞0且|b|＞|a|，接着可得a b＞0，c-b＜0，然後即可化簡|a b|-|c-b|可得結果． 具體步驟為：① a,b,c的具體位置，在原點左邊的小于0，原點右邊的大于0.②比較絕對值的大小.|a|＜|c|＜|b|.③化簡原式中的每一部分，看看絕對值内部（二次根式中的被開方數的底數）的性質，若大于零，直接提出來，若小于零，則取原數的相反數.④進行化簡計算，得出最後結果.

【答案與解析】

解：從數軸上a、b、c的位置關系可知：c＜a＜0；b＞0且|b|＞|a|，

故a b＞0，c-b＜0，

即有|a b|-|c-b|=a b c-b=a c．

故選A．

【總結升華】

此題主要考查了利用數形結合的思想和方法來解決絕對值與數軸之間的關系，進而考察了非負數的運用.數軸的特點：從原點向右為正數，向左為負數，及實數與數軸上的點的對應關系．非負數在初中的範圍内，有三種形式：絕對值（|a|），完全平方式(a±b)2，二次根式

.性質：非負數有最小值是0；幾個非負數的和等于0，那麼每一個非負數都等于0.

類型三、利用數形結合解決代數式的恒等變形問題

3. 圖①是一個邊長為

的正方形，小穎将圖①中的陰影部分拼成圖②的形狀，由圖①和圖②能驗證的式子是（ ）

A.

B.

C.

D.

【思路點撥】

這是完全平方公式的幾何背景，用幾何圖形來分析和理解完全平方公式的實質.是一個很典型的“數形結合”的例子，用圖形的變換來幫助理解代數學中的枯燥無味的數學公式.根據圖示可知，陰影部分的面積是邊長為（m n）的正方形的面積減去中間白色的小正方形的面積（m2 n2），即為對角線分别是2m，2n的菱形的面積．據此即可解答．

【答案】B.

【解析】（m n）2-（m2 n2）=2mn．

故選B．

【總結升華】

本題是利用幾何圖形的面積來驗證（m n）2-（m2 n2）=2mn，解題關鍵是利用圖形的面積之間的相等關系列等式．

舉一反三

【變式】如圖1是一個長為2m，寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然後按圖2的形狀拼成一個空心正方形．

（1）你認為圖2中的陰影部分的正方形的邊長是多少？

（2）請用兩種不同的方法求出圖2中陰影部分的面積；

（3）觀察圖2，你能寫出下列三個代數式：（m n）2、（m-n）2、mn之間的關系嗎？

【答案】

解：（1）圖②中陰影部分的正方形的邊長等于（m-n）；

（2）（m-n）2；（m n）2-4mn；

（3）（m-n）2=（m n）2-4mn．

類型四、利用數形結合思想解決極值問題

4.我們知道：根據二次函數的圖象，可以直接确定二次函數的最大（小）值；根據“兩點之間，線段最短”，并運用軸對稱的性質，可以在一條直線上找到一點，使得此點到這條直線同側兩定點之間的距離之和最短．這種“數形結合”的思想方法，非常有利于解決一些實際問題中的最大（小）值問題．請你嘗試解決一下問題：

（1）在圖1中，抛物線所對應的二次函數的最大值是 _____.

（2）在圖2中，相距3km的A、B兩鎮位于河岸（近似看做直線CD）的同側，且到河岸的距離AC=1千米，BD=2千米，現要在岸邊建一座水塔，直接給兩鎮送水，為使所用水管的長度最短，

請你：

①作圖确定水塔的位置；

②求出所需水管的長度（結果用準确值表示）.

（3）已知x y=6，求

的最小值？

此問題可以通過數形結合的方法加以解決，具體步驟如下：

①如圖3中，作線段AB=6，分别過點A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA= ____DB= ____.

②在AB上取一點P，可設AP= _____，BP= _____.

③

的最小值即為線段___和線段_____長度之和的最小值，最小值為 ___

．

【思路點撥】

（1）利用二次函數的頂點坐标就可得出函數的極值；

（2）

①延長AC到點E，使CE=AC，連接BE，交直線CD于點P，則點P即為所求；

②過點A作AF⊥BD，垂足為F，過點E作EG⊥BD，交BD的延長線于點G，則有四邊形ACDF、CEGD都是矩形，進而利用勾股定理求出即可；

（3）

①作線段AB=6，分别過點A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，

②在AB上取一點P，可設AP=x，BP=y；

③

的最小值即為線段 PC和線段 PD長度之和的最小值，最小值利用勾股定理求出即可.

【答案與解析】

（1）抛物線所對應的二次函數的最大值是4；

（2）

①如圖所示，點P即為所求．

（作法：延長AC到點E，使CE=AC，連接BE，交直線CD于點P，則 點P即為所求.

說明：不必寫作法和證明，但要保留作圖痕迹；不連接PA不扣分；（延長BD，同樣的方法也可以得到P點的位置．）

②過點A作AF⊥BD，垂足為F，過點E作EG⊥BD，交BD的延長線于點G，則有四邊形ACDF、CEGD

都是矩形．

∴FD=AC=CE=DG=1，

EG=CD=AF．

∵AB=3，BD=2，

∴BF=BD-FD=1，BG=BD DG=3，

∴在Rt△ABF中，AF2=AB2-BF2=8，

∴AF=2

EG=2

.

∴在Rt△BEG中，BE2=EG2 BG2=17，

∴BE=

（cm）.

∴PA PB的最小值為

cm.

即所用水管的最短長度

cm.

（3）圖3所示，

①作線段AB=6，分别過點A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，

②在AB上取一點P，可設AP=x，BP=y，

③

的最小值即為線段 PC和線段 PD長度之和的最小值，

∴作C點關于線段AB的對稱點C′，連接C′D，過C′點作C′E⊥DB，交BD延長線于點E，

∵AC=BE=3，DB=5，AB=C′E=6，

∴DE=8，

.

.

∴最小值為10．

故答案為：①4； ②x，y； ③PC，PD，10．

【總結升華】

此題主要考查了函數最值問題與利用軸對稱求最短路線問題，結合已知畫出圖象利用數形結合以及勾股定理是解題關鍵．

作圖題不要求寫出作法，但必須保留痕迹.最後點題，即“xx即為所求”.

類型五、利用數形結合思想，解決函數問題

5.如圖,二次函數y=ax2 bx c的圖象開口向上,圖象過點(-1,2)和(1,0),且與y軸相交與負半軸.以下結論（1）a＞0；（2）b＞0；（3）c＞0；（4）a b c=0；（5）abc<0；（6）2a b＞0;（7）a c=1；（8）a＞1中,正确結論的序号是___________.

【思路點撥】

由抛物線的開口方向判斷a與0的關系，由抛物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然後根據對稱軸及抛物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．

【答案與解析】

解：①由抛物線的開口方向向上，可推出a＞0，正确；

②因為對稱軸在y軸右側，對稱軸為x=

＞0，又因為a＞0，∴b＜0，錯誤；

③由抛物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，∴c＜0，錯誤；

④由圖象可知：當x=1時y=0，∴a b c=0，正确；

⑤∵a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，錯誤；

⑥由圖象可知：對稱軸x=

＞0且對稱軸x=

＜1，∴2a b＞0，正确；

⑦由圖象可知：當x=-1時y=2，∴a-b c=2， ---①

當x=1時y=0，∴a b c=0， ---②

① ②，得

2a 2c=2，解得 a c=1，正确；

⑧∵a c=1，移項得a=1-c，又∵c＜0，∴a＞1，正确．

故正确結論的序号是①④⑥⑦⑧．

【總結升華】

考查二次函數的解析式、圖象，及綜合應用相關知識分析問題、解決問題的能力．

二次函數y=ax2 bx c圖象與系數之間的關系：

（1）a由抛物線開口方向确定：開口方向向上，則a＞0；否則a＜0．

（2）b由對稱軸和a的符号确定：由對稱軸公式x=判斷符号．存在着“左同右異”，即a,b同号.對稱軸在y軸的左邊，a,b異号，對稱軸在y軸的右邊.

（3）c由抛物線與y軸的交點确定：交點在y軸正半軸，則c＞0；否則c＜0．

（4）b2-4ac由抛物線與x軸交點的個數确定：2個交點，b2-4ac＞0；1個交點，b2-4ac=0；沒有交點，b2-4ac＜0．

（5）當x=±1時，ax2 bx c就變成了a±b c了.這道題的第7小題：當x=1時，a b c=0……①

當x=-1時，a-b c=2……②,① ②得，2a 2c=2，即a c=1.

舉一反三

【變式】已知二次函數y=ax2 bx c的圖象如圖所示，x=

是該抛物線的對稱軸．根據圖中所提供的信息，請你寫出有關a，b，c的四條結論，并簡單說明理由．

【答案】

解：①∵開口方向向上，∴a＞0，

②∵與y軸的交點為在y軸的正半軸上，∴c＞0，

③∵對稱軸為x=

＞0，∴a、b異号，即b＜0，

④∵抛物線與x軸有兩個交點，∴b2-4ac＞0，

⑤當x=1時，y=a b c＜0，

⑥當x=-1時，y=a-b c＞0．

結論有：a＞0，b＜0，c＜0，a b c＜0，a-b c＞0等

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