小小悖論

卻是大智慧

上次講到芝諾悖論作為一個間接因素引發了曆史上“第一次數學危機”，對于芝諾悖論隻是簡單地介紹了一下，然後就看到有模友想要超模君詳細講講這個内容了。

既然你誠心誠意地發問了，那超模君就小發慈悲地告訴你吧。

芝諾悖論其實指的是古希臘數學家芝諾（Zeno of Elea）提出的一系列關于運動的不可分性的哲學悖論。（據說一共有40多個完全不同的悖論，然而現存的僅有8個。）

其中，最為著名的是以下4個悖論：

1、二分法悖論

因為在競賽中，追者首先必須到達被追者的出發點，當阿基裡斯追到100米時，烏龜已經又向前爬了10米，于是，一個新的起點産生了。

阿基裡斯必須繼續追，而當他追到烏龜爬的這10米時，烏龜又已經向前爬了1米，阿基裡斯隻能再追向那個1米。。。

就這樣，烏龜會制造出無窮個起點，它總能在起點與自己之間制造出一個距離，不管這個距離有多小，但隻要烏龜不停地奮力向前爬，阿基裡斯就永遠也追不上烏龜！

3、飛矢不動

“飛矢不動”中的“矢”指的是弓箭中的箭。正常的射箭，任何人都知道，隻要箭離了弦，就能飛出去，經過一段空間運動後，到達另一個位置。

然而，芝諾認為：如果我們截取“飛矢”的每一個瞬間，它在空中都是“靜止”的。既然每一個瞬間都是靜止的，所有的瞬間加起來也應該是靜止的，因此，“飛矢”是“不動”的。

4、遊行隊伍悖論

假設在運動場上，在一瞬間（一個最小時間單位）裡，相對于觀衆席A，隊列B、C分别各向右和左移動一個距離單位。

而此時，相對于B，C移動了兩個距離單位。

芝諾認為，既然隊列可以在一瞬間（一個最小時間單位）裡移動一個距離單位，也可以在半個最小時間單位裡移動一個距離單位，那麼，半個時間單位就等于一個時間單位。

因此隊列是移動不了的。

小天：那麼按照他的說法，世界都是靜止的咯。。。

而且就算你運動了也等于沒動。。。

超模君：其實，芝諾悖論隻是想說明一個問題：世界在空間上和時間上是有限可分還是無限不可分的。

原來，芝諾提出的這些悖論曾困擾人們2000多年，盡管大家都知道是錯誤的，但由于其推理過程不僅嚴謹，而且還合乎邏輯

（至少在當時是如此），以至于長期以來，竟沒人能清楚地說出它到底錯在哪裡。。。

亞裡士多德對芝諾悖論作出了這樣的解釋：

對于第一、三個悖論，他認為隻要假設時間是也是無限不可分的，那麼每一個時間點對應一個空間點，就能在無限不可分的一段時間裡跨過一段無限不可分的空間。

對于第二個悖論，他認為：當追趕者與被追者之間的距離越來越小時，追趕所需的時間也越來越小。無限個越來越小的數加起來的和是有限的，所以可以在有限的時間追上。（然而并不嚴謹）

而對于阿基裡斯悖論，阿基米德發現了一種類似于幾何級數求和的方法，而問題中所需的時間是成倍遞減的，這正是一個典型的幾何級數，由此可知阿基裡斯追上烏龜的總時間是一個有限值。

至此，這個悖論才總算是得到了一個還過得去的解釋。

随着現代數學的發展，數學家們發現了一些“手段”來解決芝諾悖論，其中最著名的就屬牛頓、萊布尼茨創立的微積分了。

所謂“微分”就是把某事物無限量地細分，“積分”就是将細分後的各個小部分加起來。

在微積分中有個很重要的變量叫做“無窮小量”，用“dx”來表示。其概念是：無限趨于零，但不等于零。

芝諾悖論之所以是錯誤的，是因為芝諾将無窮小量等同于零（完全忽略不計）。

按照這個想法的話，無窮小量繼續增加、累積，其結果都隻能是零，因此“飛矢不動”。

然而，無窮小真正是指無限趨于零（并不等于零），這樣，無窮個“趨近于零”的無窮小量相加、累積之後，就會有一個确切的值。

通過微積分，我們可以根據給定的距離求出阿基裡斯追上烏龜的時間。但這是在知道阿基裡斯已經追上烏龜的假定下進行的計算。

那麼，阿基裡斯是如何追上烏龜的呢？

很遺憾，這個在數學中無法得到一個合理的解釋。

那麼，現在我們轉戰到物理學，人們認為量子力學已經解決了芝諾悖論。

在量子世界裡，認為時間、空間和能量都是不連續的。

也就是說，時間、空間都有一個最小的單位，稱之為普朗克長度。

時間、空間都是有限可分的，這樣阿基裡斯就能追上烏龜，我們也能到達目的地了。（小天：好像還是不懂）

但是，這樣的話，豈不是我們所做的每一件事都是像放電影那樣？隻是時間的間隔少了幾個數量級？（細思極恐）

1秒的快門，400mm鏡頭，拍攝倫敦紳士。

芝諾悖論從最開始數學讨論，慢慢演變成為哲學問題（數學與哲學真的分不開嗎），也讓大量的哲學家陷入沉思。

法國哲學家柏格森說過：芝諾悖論的全部要害在于用運動軌迹代替運動本身。

許多現代分析哲學家進一步指出，芝諾用數學化的運動軌迹代替物理的運動軌迹，就将真實的物理運動導入關于無限的數學迷途之中。。。

阿爾弗雷德·諾斯·懷特海德這樣形容芝諾：知道芝諾的人沒有一個不想去否定他的，所有人都認為這麼做是值得的。

英國數學家、哲學家伯特蘭·羅素曾如此評價：（芝諾悖論）為從他（芝諾）那時起到現在所創立的幾乎所有關于時間、空間以及無限的理論提供了土壤。

伯特蘭·羅素

正如數學史家F·卡約裡所說：芝諾悖論的曆史，大體上也就是連續性、無限大和無限小這些概念的曆史。

柏拉圖曾取笑芝諾隻會耍耍小聰明，然而，現在看來，小小悖論，卻是大智慧啊。

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