義務教育的階段的代數知識是初等代數，又稱古典代數。以算術為基礎進而步入代數的跨越并不是方程帶來的，而是用字母表示數。

原始的代數被發現于蘇美爾人的黏土片上，公元前18世紀以前的蘭德草叔，已經記錄了分配的問題，出現了簡單方程，這些方程的未知數用"hau"(堆)表示，方程雖然是古典方程的核心，但并不是算術進入代數的最初。

阿拉伯數學家花拉子米，寫了一本書《還原與對消的科學》,還原也就是解方程中的移項，對消就相當于"合并同類項"。後來書名慢慢變為《代數學》。花拉子米不僅引入了"移項、對消"等解方程的專門術語，而且把未知數叫做"根"。

花拉子米用普通文字來表達方程的解法，這個時代的代數隻是一個開始！丢番圖，古希臘數學家，他創造了縮寫代數，就是将代數中的核心詞縮寫，一般用詞語的第一個字母。

不過，曆史上第一個有意識，系統地使用字母的是法國數學家韋達，韋達認為算術與代數是有區别的，代數是代表類或形式的運算方法，算術隻是同具體的數打交道的計算技術。韋達用統一的字母表示未知量、已知量及其運算，是對傳統代數的突破。

從算術到代數，人為劃分為三個曆史階段，花拉子米、丢番圖、韋達這三個數學家就是相應的标志性人物。

花拉子米時代，是"文辭代數"的階段，"代數"、"移項"、"合并"等術語，都是他的傑作，但是比較容易産生歧義，而且比較繁瑣。

丢番圖用音節首字母縮寫來表示數，開創"縮寫代數"的時代，比如數學中"meter"，就是"米"的意思，縮寫就是"m"。

但是雖然丢番圖先用了字母表示數，但是為什麼韋達卻被稱為"近代代數學之父"。

我們可以比較一下，雖然都是用字母表示數，但兩者根本區别在于表示的是一個數還是一類數。丢番圖縮寫的方法，每一個字母都具有潛在的特定意思，表達出來的方程是一題一法。如果丢番圖解100個方程，就得100種方法。韋達的高明之處在于其所用字母不表示任何具體的意思，隻是一個符号而已，若用一個方塊圖，一個小花圖也絲毫不影響所列代數式的意義，關注的是去情境化之後的東西，表達的是一類問題的統一解法，呈現的是代數的本質，丢番圖方法本質是替代，而韋達本質是抽象，是數學思想的進化。

可以說，數學符号是數學語言的細胞，每一個數學符号都是數學家們意境深途而形象簡明的創造力的展現，而"符号常常比發明它們的數學家更難推理"。

"字母表示數"是一種重要的基本數學思想。有了它，就可以用字母簡捷地表示有關運算法則及運算律，簡明地表述許多數學定理、公式等；有了它，就可以用字母巧妙地表示已知或未知數量，建立代數式，建立方程等；有了它，就有了以字母及數學符号為要素構成的符号語言，而這種語言形态豐富了數學的表達力，同時還便于更靈活地進行數學交流、更有效地形成數學理解。

用字母表示數是由算術跨越到代數的橋梁，是數學發展史上的一件大事，是人類發展史上的一個飛躍，也是代數與算術的最顯著的區别。

張景中院士說："代數比算術高明，高明在一個'代'字上。用字母來代替數，會使我們打開眼界。用字母表示未知數，我們就有了解應用題的有力武器——方程。用字母表示任意數，我們就有了各種各樣的公式、恒等式、不等式。""'代'的方法用途很廣。它可以把已知與未知聯系起來，把普遍與特殊聯系起來，把複雜的式子變得簡單而易于觀察，把平凡的事實弄得花樣翻新便于應用。"

張院士談的這個現象并不是自古就有的。德國數學史家内塞爾曼把代數的發展分為三個時期：

1. 文字代數

如在丢番圖以前的代數都是文字（文詞）叙述代數，花拉子米和我國古算等都是用語言文字叙述與解答問題的。

2.簡字代數

如巴比倫用特殊的字igi,igibi表示互為倒數的兩數。12世紀用P和M表示"加"和"減"。

3.符号代數

以符代數，曆經千多年漫長、曲折的探索、實踐，到了16世紀，符号代數學才基本完成，它以法國數學家韋達的《分析引論》（1591年出版）為标志，韋達被西方數學史家推崇為第一個自覺地、系統地創用了一套抽象字母代替具體數字的人。 從此，從算術到代數，代數學告别了舊時代，插上了飛速發展的翅膀。

克萊因說："如果沒有專門的符号和公式，簡直就不可能有現代數學。" 到目前為止，數學符号已有數百種，中小學常用的符号就有一百多種。包括數字符号、運算符号、關系符号、性質符号、象形符号等。

英國學者斯坎普認為數學符号有如下十種功能： 1.傳遞；2.記錄知識；3.形成新的概念；4.簡化複雜紛繁的分類系統；5.解釋；6.使反思活動成為可能；7。揭示結構；8.使操作程序自動化；9.信息的恢複和理解；10.進行創造性的思考。

例1．如圖所示是一個樹形圖的生長過程，依據圖中所示的生長規律，第12行的空心圓的個數是（　　）

A．34 B．55 C．72 D．89

【解析】：按生長規律，第n行的空心圓的個數等于第（n﹣1）行實心圓的個數，而第（n﹣1）行實心圓的個數等于第（n﹣2）行總圓數，

第n行總圓數為第（n﹣1）行與第（n﹣2）行總圓數之和，

所以從第一行起，各行空心圓的個數規律是：1、0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55…所以第12行的空心圓的個數是55．故選：B．

變式．如圖，直線l上有2個圓點A，B．我們進行如下操作：第1次操作，在A，B兩圓點間插入一個圓點C，這時直線l上有3個圓點；第2次操作，在A，C和C，B之間再分别插入一個圓點，這時直線l上有5個圓點；第3次操作，在每相鄰的兩圓點間再插入一個圓點，這時直線l上有9個圓點；…第n次操作後，這時直線l上有_______個圓點．

例2．觀察下列圖形：

如果按這個規律一直排到第n個圖形，請探究下列問題：

字母表示數是代數的特點，但字母具有抽象性，所以在條件允許的範圍内賦予字母以特殊值來計算、判斷或探求解題思路，能化抽象為具體，這就是我們常說的"賦值法"，但這種方法不能作為規範的解題過程。

例4. 在世界著名水都威尼斯有個馬爾克廣場，廣場上有一個雄偉的教堂，教堂的前面是一片開闊的平地，這裡常吸引許多遊客來此做一種奇特的遊戲：人們把眼睛蒙上，然後從廣場的一端向另一端教堂走去，看誰能到達教堂的正前面！奇怪的是，盡管這段距離隻有175米，但卻沒有一位遊客能幸運地做到這一點。後來，挪威生理學家古德貝對這個"閉眼打轉"的問題進行了研究。

1896年，挪威生理學家古德貝通過研究得出結論：人的兩條腿在走路時的步長存在差異，導緻我們在沒有參照物修正方向時，人沿直線行走時總是偏右或偏左，不可能走成直線，最終形成一個圓，試分析說明。

解析：引入字母，從圓的周長公式尋找圓的半徑與步長差的關系。不妨假定左步比右步長1毫米，兩腿交不妨假定左步比右步長1毫米，兩腿交替行走1000步後，左腿将比右腿多走1000毫米，即1米，這樣，人的兩條腿就不可能走出兩條平行直線，而隻能走出兩個同心圓。

假設一個人的步長平均為0。7米，走路的時候左右兩腿的踏腳線間的距離大約是10厘米，右腿行走的圓圈半徑為R，左腿比右腿每步多邁出x米（如圖），那麼R是多少呢？他走完一圈後，他的右腿走的路程是2πR，左腿走的路程是2π（R 0。1），所以在一圈中，左腿比右腿多邁出了[2π（R 0。1）一2πR]米。

可見，這個圓圈半徑R是與左右兩腿的步差有關的，假設一個人的左腿比右腿0.07,每步多邁出1毫米，那麼他所走形成的圓圈半徑是R=０。０７／０.００１=70（米）。

真理是相對的，對稱也隻是近似的，數學源于生活，又高于生活，這就是事例給我們的啟示。

然而在廣闊無垠的沙漠上，在無邊無際的草原上，如果沒有任何指示方向的路标，那麼人們是無法走出的。

1859年，我國數學家李善蘭首次把"algebra"譯成"代數"。後來清代學者華蘅芳和英國人傅蘭雅合譯英國瓦裡斯的《代數學》，卷首有"代數之法，無論何數，皆可以任何記号代之"，亦即：代數，就是運用文字符号來代替數字的一種數學方法。

M.克萊因亦曾指出："從古代埃及人和巴比倫人開始直到韋達和笛卡爾之前，沒有一個數學家能意識到字母可用來代表一類數。"

縱觀曆史，數學的發展創造了數學符号，新的數學符号的使用又反過來促進了數學的發展。曆史上的數學是這樣一步步走過來的，并且需要這樣一步步地繼續走下去，而它的每一個進步都必将伴随着新的數學符号的産生。

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