高中數學三角函數知識網絡圖?肖博數學小題專練·(七) 三角函數的圖象與性質，下面我們就來聊聊關于高中數學三角函數知識網絡圖?接下來我們就一起去了解一下吧!

高中數學三角函數知識網絡圖

肖博數學小題專練·(七) 三角函數的圖象與性質

一、選擇題

1.下列函數中，最小正周期為 π 且圖象關于原點對稱的函數是

( )

A.y=cos











2x

π

2

B.y=sin











2x

π

2

C.y=sin2x cos2x D.y=sinx cosx

答案 A

解析 y=cos











2x

π

2 =-sin2x，最小正周期 T=

2π

2 =π，且為奇

函數，其圖象關于原點對稱，故 A 正确;y=sin











2x

π

2 =cos2x，最

小正周期為 π，且為偶函數，其圖象關于 y 軸對稱，故 B 不正确;C、

D 均為非奇非偶函數，其圖象不關于原點對稱，故 C、D 不正确。

2.(2017·海南聯考)已知 f(x)=2sin











2x

π

6 ，若将它的圖象向右平

移

π

6個單位長度，得到函數 g(x)的圖象，則函數 g(x)圖象的一條對稱

軸的方程為( )

A.x=

π

3

B.x=

π

4

C.x=

π

6

D.x=

π

12

答案 A

解析 f(x)=2sin











2x

π

6 ，若将它的圖象向右平移π

6個單位長度，

得到函數 g(x)=2sin











2













x-

π

6

π

6 =2sin











2x-

π

6 的圖象，令 2x-

π

6=kπ

π

2，k∈Z，求得 x=

kπ

2

π

3，故函數的圖象的一條對稱軸的方程為 x

2

=

π

3，故選 A。

3.(2017·全國卷Ⅲ)函數 f(x)=

1

5

sin











x

π

3 cos











x-

π

6 的最大值為

( )

A.

6

5

B.1

C.

3

5

D.

1

5

答案 A

解析 因為 cos











x-

π

6 =cos























x

π

3 -

π

2 =sin











x

π

3 ，所以 f(x)=

6

5

sin











x

π

3 ，于是 f(x)的最大值為6

5，故選 A。

4.若 f(x)=sin(2x φ) b，對任意實數 x 都有 f













x

π

3 =f(-x)，

f











2π

3 =-1，則實數 b 的值為( )

A.-2 或 0 B.0 或 1

C.±1 D.±2

答案 A

解析 由 f













x

π

3 =f(-x)可得 f(x)的圖象關于直線 x=

π

6對稱，∴

2×

π

6 φ=

π

2 kπ，k∈Z。當直線 x=

π

6經過最高點時，取 φ=

π

6;當直

線 x=

π

6經過最低點時，取 φ=-

5

6

π。若 f(x)=sin











2x

π

6 b，由 f











2 

3

π =

-1，得 b=0;若 f(x)=sin











2x-

5

6

π b，由 f











2 

3

π =-1，得 b=-2。

所以 b=-2 或 b=0。

5.将函數 f(x)=sin











2x

π

6 的圖象向左平移 φ













0<φ≤

π

2 個單位長

度，所得的圖象關于 y 軸對稱，則 φ=( )

3

A.

π

6

B.

π

4

C.

π

3

D.

π

2

答案 A

解析 将函數 f(x)=sin











2x

π

6 的圖象向左平移 φ













0<φ≤

π

2 個單位

長度，得到的圖象所對應的函數解析式為 y=sin











2(x φ)

π

6 =

sin











2x 2φ

π

6 ，由題知，該函數是偶函數，則 2φ

π

6=kπ

π

2，k∈Z，

又 0<φ≤

π

2，所以 φ=

π

6，選項 A 正确。

6.(2017·甘肅蘭州一模)函數f(x)=sin(ωx φ)













x∈R，ω>0，|φ|<

π

2

的部分圖象如圖所示，如果 x1 x2=

2π

3 ，那麼 f(x1) f(x2)=( )

A.

3

2

B.

2

2

C.0 D.-

1

2

答案 C

解析 由題圖知，T=π，ω=2，∴f(x)=sin(2x φ)，将









π 

3，0 代

入函數，根據 φ 的範圍，得 φ=

π

3，∴f(x)=sin











2x

π

3 。∵圖象關于









π 

3，0

4

中心對稱，x1 x2=

2π

3 ，∴x1，x2的中點為π

3，則 f(x1) f(x2)=0。

7.(2017·哈爾濱一模)已知函數 f(x)= 3sinωx cosωx(ω>0)，y

=f(x)的圖象與直線 y=2 的兩個相鄰交點的距離等于 π，則 f(x)的單

調遞增區間是( )

A.











kπ-

π

12，kπ

5π

12 ，k∈Z

B.











kπ

5π

12，kπ

11π

12 ，k∈Z

C.











kπ

π

6，kπ

2π

3 ，k∈Z

D.











kπ-

π

3，kπ

π

6 ，k∈Z

答案 D

解析 因為 f(x)=2sin











ωx

π

6 ，所以最小正周期 T=

2π

ω。又由題

設可知 T=π，故 T=

2π

ω=π⇒ω=2，故 f(x)=2sin











2x

π

6 ，其單調遞

增區間為 2kπ-

π

2≤2x

π

6≤2kπ

π

2，即 kπ-

π

3≤x≤kπ

π

6，k∈Z，故

選 D。

8.(2017·安徽宿州一模)将函數 f(x)=3sin











2x-

π

4 的圖象先向左平

移

π

4個單位長度，再向下平移 4 個單位長度，得到函數 g(x)的圖象，

則函數 f(x)的圖象與函數 g(x)的圖象( )

A.關于點(-2,0)對稱

B.關于點(0，-2)對稱

C.關于直線 x=-2 對稱

D.關于直線 x=0 對稱

答案 B

5

解析 将函數 f(x)=3sin











2x-

π

4 的圖象先向左平移π

4個單位長度，

再 向 下 平 移 4 個 單 位 長 度 ， 得 到 函 數 g(x) 的 解 析 式 g(x) =

3sin











2













x

π

4 -

π

4 -4=3sin











2x

π

4 -4=-3sin









 -2x-

π

4 -4=-f(-x)

-4，故兩個函數的圖象關于點(0，-2)對稱，故選 B。

9.已知函數 f(x)=sin(ωx φ)













ω>0，|φ|<

π

2 的最小正周期為 π，且

其圖象向右平移π

6個單位後得到函數 g(x)=sinωx 的圖象，則函數 f(x)

的圖象( )

A.關于直線 x=

5π

12對稱

B.關于直線 x=

π

12對稱

C.關于點









π 

12，0 對稱

D.關于點









5π 

12，0 對稱

答案 B

解析 依題意得 T=

2π

ω=π，ω=2，f(x)=sin(2x φ)，将 f(x)的圖

象向右平移π

6個單位後得到函數 y=sin











2













x-

π

6 φ =sin2x 的圖象，因

此 φ-

π

3=2kπ，k∈Z，φ=2kπ

π

3，k∈Z，又|φ|<π

2，因此 φ=

π

3，f(x)

=sin











2x

π

3 。f











5π

12 =sin











2×

5π

12

π

3 =-

1

2，f











5π

12 ≠±1 且 f











5π

12 ≠0，因

此 f(x)的圖象不關于直線 x=

5π

12對稱，也不關于點









5π 

12，0 對稱。f











π 

12 =

sin











2×

π

12

π

3 =1，因此 f(x)的圖象關于直線 x=

π

12對稱，故選 B。

6

10.(2017·泉州模拟)已知函數 f(x)=2sin

x φ

2

cos

x φ

2 











|φ|<

π

2 ，且

對于任意的 x∈R，f(x)≤f











π

6 ，則( )

A.f(x)=f(x π) B.f(x)=f













x

π

2

C.f(x)=f











π 

3-x D.f(x)=f











π 

6-x

答案 C

解析 函數 f(x)=2sin

x φ

2

cos

x φ

2 =sin(x φ)













|φ|<

π

2 ，若對任意的

x∈R，f(x)≤f











π

6 ，則 f











π

6 等于函數的最大值，即π

6 φ=2kπ

π

2

(k∈Z)，

則 φ=2kπ

π

3，k∈Z，又|φ|<π

2，∴φ=

π

3，∴f(x)=sin











x

π

3 ，∴f(x)的周

期為 T=2π，A，B 錯誤;又 f(x)圖象的對稱軸是 x=kπ

π

6，k∈Z，C

正确，D 錯誤。故選 C。

11.(2017·全國卷Ⅰ)函數 y=

sin2x

1-cosx

的部分圖象大緻為( )

答案 C

解析 因為函數 f(x)=

sin2x

1-cosx

的定義域為{x|x≠2kπ，k∈Z}，f(-

7

x)=

sin(-2x)

1-cos(-x)

=

-sin2x

1-cosx

=-f(x)，所以 y=

sin2x

1-cosx

為奇函數，其圖

象關于原點對稱，故排除 B;因為 f











π

2 =

sinπ

1-cos

π

2

=0，f











3π

4 =

sin

3π

2

1-cos

3π

4

=

-1

1

2

2

<0，排除 A;f(π)=

sin2π

1-cosπ

=0，排除 D。故選 C。

12.(2017·東北三校聯考)已知函數 f(x)=sin(ωx φ)(0<ω≤12，ω

∈N*,0<φ<π)圖象關于 y 軸對稱，且在區間









π 

4，

π

2 上不單調，則 ω 的可

能值有( )

A.7 個 B.8 個

C.9 個 D.10 個

答案 C

解析 由題知，f(x)為偶函數，f(0)=sinφ=±1，又 0<φ<π，所以

φ=

π

2，f(x)=sin











ωx

π

2 =cosωx。令 t=ωx，f(x)=cost，則 y=cost 在











π 

4

ω，

π

2

ω 上不單調。令 ω=1，y=cost 在









π 

4，

π

2 是單調減函數，所以

ω≠1;令 ω=2，y=cost 在









π 

2，π 是單調減函數，所以 ω≠2;令 ω

=3，y=cost 在









3 

4

π，

3

2

π 不單調，所以 ω=3 符合題意;令 ω=4，y

=cost 在[π，2π]是單調增函數，所以 ω≠4;依次類推，可得當 ω=

5,6，7，…，12 時均符合題意，所以 ω 取 3,5,6,7,8,9,10,11,12 時，f(x)

在









π 

4，

π

2 上不單調，所以 ω 的可能值有 9 個。

二、填空題

8

13.已知函數 f(x)=2sin(ωx φ)對任意的 x 都有 f











π 

6 x =f











π 

6-x ，

則 f











π

6 =________。

答案 ±2

解析 函數 f(x)=2sin(ωx φ)對任意的 x 都有 f











π 

6 x =f











π 

6-x ，

則其對稱軸為 x=

π

6，所以 f











π

6 =±2。

14.函數 y=sin2x 與函數 y=tanωx 有相同的零點，則 y=tanωx

的單調遞增區間為____________________。

答案 









 -

π

4

kπ

2 ，

π

4

kπ

2

(k∈Z)

解析 根據題意可知，y=tanωx 的周期為 y=sin2x 的周期的一

半，即 T=

1

2×

2π

2 =

π

2，∴ω=

π

T=2，∴y=tan2x。令-π

2 kπ<2x<

π

2 kπ(k

∈Z)，得 y=tan2x 的單調遞增區間為









 -

π

4

kπ

2 ，

π

4

kπ

2

(k∈Z)。

15.函數 y=2sin









πx 

6 -

π

3

(0≤x≤9)的最大值與最小值之差為

________。

答案 2 3

解析 因為 0≤x≤9，所以-π

3≤

πx

6 -

π

3≤

7π

6 ，因此當

πx

6 -

π

3=

π

2時，

函數 y=2sin









πx 

6 -

π

3 取得最大值，即 ymax=2×1=2。當πx

6 -

π

3=-

π

3時，

函數 y=2sin









πx 

6 -

π

3 取得最小值，即 ymin=2sin











 -

π

3 =- 3，因此 y

=2sin









πx 

6 -

π

3

(0≤x≤9)的最大值與最小值之差為 2 3。

16.将函數 y=sinx 3cosx 的圖象向右平移 φ(φ>0)個單位長度，

9

再向上平移 1 個單位長度後，所得圖象經過點









π 

4，1 ，則 φ 的最小值

為________。

答案 7π

12

解析 依題意，将 y=2sin











x

π

3 的圖象向右平移 φ 個單位長度得

到曲線 y=2sin











x-φ

π

3 ，再向上平移 1 個單位長度得到曲線 y=

2sin











x-φ

π

3 1，又該曲線經過點









π 

4，1 ，于是有 2sin









π 

4-φ

π

3 1

=1，即 sin









7π 

12-φ =0，φ-

7π

12=kπ，k∈Z，φ=kπ

7π

12，k∈Z，因此

正數 φ 的最小值是7π

12。

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