上兩篇文章已對橢圓及雙曲線性質進行了彙總，本文對高考考點中涉及的抛物線的部分性質進行彙總。

注：以下僅讨論焦點在x軸上且開口向右的抛物線性質。

平面内到定點F（p/2，0）的距離和到定直線l：x=-p/2的距離之比為常數e=1的點的軌迹是抛物線。其中定點F（p/2，0）為抛物線的焦點，定直線l：x=-p/2為抛物線的準線。

此為課本上的标準定義，不再詳述。

上述定義即可作為判定定理也可作為性質定理。

1.抛物線标準方程

其中p>0，幾何意義為焦準距，下同。不再詳述。

2.抛物線參數方程

其中t為參數，顯然t=x/y，故參數t的幾何意義為抛物線上任意點（除頂點外）與原點連線的斜率的倒數。

1.抛物線切線定理

抛物線上任意點P，其在準線上的射影為M，抛物線焦點為F，則過P點的切線平分∠MPF。

此定理揭示了抛物線的一條光學性質，該性質在高中數學課本上也有提及，即從抛物線的一個焦點發出的光線，經抛物線反射後變成平行光。

2.抛物線切線方程

過抛物線上一點P（x0，y0）的的切線方程為：

上述兩個證明過程都用到了隐函數求導，高中範圍不涉及該知識點，有興趣的同學可以嘗試用二次函數判别式推導。

3.抛物線切點弦方程

過抛物線外一點P（x0，y0），做抛物線上的兩條切線，切點為A，B，則過A，B的切點弦方程為：

4.切點弦性質

性質1：準線上的點形成的切點弦過焦點。

證：設P在準線上，故P點坐标為（-p/2，y0），

将P點坐标代入切點弦方程，即：y0y=p（x-p/2）

顯然此方程過點F（p/2，0）。

性質2：做抛物線外一點的切點弦，如果過焦點，則此點必在準線上。

證：設P（x0，y0），則P點對應的切點弦方程為：y0y=p（x x0），

将焦點F（p/2，0）代入切點弦方程，即：0=p（p/2 x0），

則x0=-p/2，即P點在準線上。

1.焦半徑長

焦半徑長公式1：

通過準線性質容易得到。

焦半徑長公式2：

其中α為焦半徑與x軸正半軸夾角。

當A點位于x軸以上（含x軸，此時A點為頂點，可認為此時焦半徑與x軸正半軸夾角為180°）時，分母取負，當A點位于x軸以下時，分母取正。

推導如下：

設抛物線焦點為F，過F的直線交抛物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)，取AB中點C(x3，y3)。過A做x軸垂線，垂足為D。A、B、C、D在準線上的射影分别為A'、B'、C'、D'。設AB與x軸夾角為α。（以下諸性質均以上圖進行證明）

2.焦半徑關系

由焦半徑公式2，容易得到：

3.焦點弦性質

性質1：以焦點弦為直徑的圓與準線相切。

即：以AB為直徑的圓與A'B'相切

證：設以AB為直徑的圓半徑為r，顯然圓心為C。

CC'為梯形AA'B'B的中位線，故圓心C到準線距離：

故以AB為直徑的圓與準線相切。

顯然，∠AC'B=90°。

性質2：以焦點弦在準線上的射影為直徑的圓與焦點弦相切。

即：以A'B'為直徑的圓與AB相切

證：∵AA'=AF，∴ ∠AA'F=∠AFA'

∵AA'∥FD'，∴∠AA'F=∠A'FD'

同理：∠BFB'=∠B'FD

∴∠A'FB'=90°，∴C'F=A'B'/2=A'C'

又∵AC'=AC'，∴△AA'C'≌ △AFC，∴C'F⊥AB，

∴以A'B為直徑的圓與AB相切。

顯然且已證明：∠A'FB'=90°，C'F=A'B'/2， C'F⊥AB。

4.焦點弦長

焦點弦長公式1：

由焦半徑公式1可推得。

焦點弦長公式2：

由焦半徑公式2可得

特别的：當α=90°時，上式結果即為通徑長：2p。且依據正弦函數性質可知，抛物線通徑是最短的焦點弦。

焦點弦長公式3：

其中k為通徑所在直線斜率。

特别的：當k趨于無窮大時，上式結果即為通徑長：2p。

5.焦點弦三角形

焦點弦與頂點構成的三角形面積公式：

推導如下：

特别的：當α=90°時，上式結果即為通徑與頂點形成的三角形面積：p²/2。且依據正弦函數性質可知，通徑三角形是面積最小的焦點弦三角形。

1.判别式

直線方程y=kx m與抛物線方程聯立後的，關于x的二次方程的判别式：

2.一般弦長公式

抛物線一般弦長公式：

顯然，當m=-kp/2，即直線過焦點時，公式退化為焦點弦公式3。

3.焦點弦中的韋達定理

過焦點的直線方程與抛物線方程聯立後，兩交點（如果存在的話）：A（x1，y1），B（x2，y2）滿足如下關系：

上述公式推導過程從略

文|高見遠，轉載請注明出處。

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