三角形是初中數學裡最基本的幾何圖形，而其邊上中點，又是很常見的條件。當涉及三角形中點或中線問題時，常采用延長中線一倍的辦法，即倍長中線法，來作輔助線解題。好處是通過此法構造全等三角形繼而得到平行，可将分散的條件集中在一個三角形内解題，常常出奇制勝，化腐朽為神奇。且看模型的探究，和模型産生的基本結論及應用。

[問題提出]

如圖1，在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC邊上的中線AD的取值範圍．

[問題解決]

解決此問題可以用如下方法，延長AD到點E使DE＝AD，再連結BE（或将△ACD繞着點D逆時針裝轉180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，可得△DAC≌△DEB得AC＝EB，再根據三角形三邊關系求得AE的取值範圍，由此得出中線AD的取值範圍是　1＜AD＜5.

【模型歸納】

【簡單應用】如圖2，如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點，已知AB＝5，AC＝3，AD＝2．求BC的長

【解析】延長AD到E，使得AD＝DE，連接BE，可證明△DAC≌△DEB得AC＝EB，再證明∠AEB＝90°，由勾股定理求得BD=√13，進而得BC＝2BD＝2√13；

[拓展應用]

如圖3，在△ABC中，∠A＝90°，點D是邊BC的中點，點E在邊AB上，過點D作DF⊥DE交邊AC于點F，連結EF，已知BE＝4，CF＝5，則EF的長為____

【解析】延長FD到G，使得DG＝FD，連接BG，EG，可證明△CDF≌△BDG，得BG＝CF，∠DCF＝∠DBG，再證明∠EBG＝90°，由勾股定理求得EG=√41，由線段垂直平分線性質得EF=EG=√41，．

【點評】本題考查幾何變換綜合題、三角形的中線、勾股定理、矩形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，體會出現中點的輔助線的添加方法，屬于中考壓軸題．由此可歸納如下模型

[變式拓展]

1．（2019春•崇川區校級月考）如圖1，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點D是BC邊的中點連接AD，則易證AD＝BD＝CD，即AD＝1/2BC；如圖2，若将題中AB＝AC這個條件删去，此時AD仍然等于1/2BC．

理由如下：延長AD到H，使得AH＝2AD，連接CH，先證得△ABD≌△CHD，此時若能證得△ABC≌△CHA，

即可證得AH＝BC，此時AD＝1/2BC，由此可見倍長過中點的線段是我們三角形證明中常用的方法．

（1）請你先證明△ABC≌△CHA，并用一句話總結題中的結論；

（2）現将圖1中△ABC折疊（如圖3），點A與點D重合，折痕為EF，此時不難看出△BDE和△CDF都是等腰直角三角形．BE＝DE，CF＝DF．由勾股定理可知DE2 DF2＝EF2，因此BE2 CF2＝EF2，若圖2中△ABC也進行這樣的折疊（如圖4），此時線段BE、CF、EF還有這樣的關系式嗎？若有，請證明；若沒有，請舉反例．

（3）在（2）的條件下，将圖3中的△DEF繞着點D旋轉（如圖5），射線DE、DF分别交AB、AC于點E、F，此時（2）中結論還成立嗎？請說明理由．圖4中的△DEF也這樣旋轉（如圖6），直接寫出上面的關系式是否成立．

【解析】（1）想辦法證明AB∥CH，推出∠BAC＝∠ACH，再利用SAS證明△ABC≌△CHA即可，可得結論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．

（2）有這樣分關系式．如圖4中，延長ED到H山頂DH＝DE．證明△EDB≌△HDC（SAS），推出∠B＝∠HCD，BE＝CH，∠FCH＝90°，利用勾股定理，線段的垂直平分線的性質即可解決問題．

（3）圖5，圖6中，上面的關系式仍然成立．結論：EF²＝BE² CF²．證明方法類似（2）．

【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉變換，翻折變換，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．

2．（2018秋•吳興區期末）我們定義：如圖1，在△ABC中，把AB繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜180°）并縮短一半得到AB'，把AC繞點A逆時針旋轉β并縮短一半得到AC'，連接B'C'．當α β＝180°時，我們稱△AB'C'是△ABC的"旋半三角形"，△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的"旋半中線"，點A叫做"旋半中心"．

特例感知：

（1）在圖2，圖3中，△AB'C'是△ABC的"旋半三角形"，AD是△ABC的"旋半中線"．

①如圖2，當△ABC為等邊三角形時，AD與BC的數量關系為AD＝_____ BC；

②如圖3，當∠BAC＝90°，BC＝4時，則AD長為 _____．

猜想論證：

（2）在圖1中，當△ABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數量關系，并給予證明．

拓展應用：

（3）如圖4，在平面直角坐标系中，△ABC的坐标分别是A（4，3），B（1，0），C（5，0），△AB′C′是△ABC的"旋半三角形"，AD是△ABC的"旋半中線"，連結OD，求OD的最大值是多少？并請直接寫出當OD最大時點D的坐标．

【解析】（1）①首先證明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD＝1/2AB′即可得AD＝1/4BC，；

②首先證明△BAC∽△B′AC′，根據直角三角形斜邊中線定理即可解決問題AD=1；

（2）結論：AD＝1/4BC．如圖1中，延長AD到M，使得AD＝DM，連接B′M，C′M，首先證明四邊形AC′MB′是平行四邊形，再證明△BAC∽△AB′M，即可解決問題；

（3）如圖4中，先确定OD最大值時，D的位置，D在以A為圓心，以1為半徑的圓上，則當D運動到直線OA與半圓相交時OD最大，求此時OD的長并确定其坐标．

∵A（4，3），∴OA＝5，

∵AD＝1，∴OD的最大值是6．

過A作AE⊥x軸于E，過D作DF⊥x軸于F，

∴AE∥DF，∴△AOE∽△DOF，

∴OA/OD=OE/OF=5/6=AE/DF＝，

∵OE＝4，AE＝3，∴OF＝24/5，DF＝18/5，∴D（24/5，18/5）．

常規的倍長中線可以出全等，但需要證明"三點共線"，遇到"中點 平行"，我們"延長出全等"，而非"倍長出全等". 用"倍長中線法"作輔助線解幾何題，是一種重要的技巧套路。它可以有效地生發出全等、平行等基本條件，關聯好多基本圖形，幫助解題，大家務必好好掌握。也給我們解題的啟示：抓住核心，找到關鍵，才能快速解題。在數學問題的解決過程中伴随着一系列的心智活動，無論進行過程是否順利，都将給人以啟迪和力量。"細雨濕衣看不見，閑花落地聽無聲。"

像這樣在挑戰數學典型問題的征途中，經曆深入思考、體驗，我們的知識、方法、能力、智慧、意志力一定悄然得以提升。

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