二次函數思維導圖

一、二次函數的定義：

1．一般地，如果y＝ax^2＋bx＋c(a，b，c是常數，a≠0)，那麼y叫做x的二次函數．特别地，當a≠0，b＝c＝0時，y＝ax^2是二次函數的特殊形式。

2．二次函數的三種基本形式：

(1)一般式：y＝ax^2＋bx＋c(a，b，c是常數，a≠0)；

(2)頂點式：y＝a(x－h)^2＋k(a≠0)，由頂點式可以直接寫出二次函數的頂點坐标是(h，k)；

(3)交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是圖象與x軸交點的橫坐标。

二、二次函數的圖象和性質：

二次函數的圖像和性質

三、二次函數 y＝ax^2＋bx＋c（a ≠ 0）的圖象特征與系數a，b，c的關系：

圖像特征與系數 a，b，c 的關系

四、二次函數圖象的平移：

任意抛物線 y＝a(x－h)^2＋k 可以由抛物線y＝ax^2 經過平移得到，具體平移方法如下：

二次函數圖象的平移

五、二次函數表達式的求法:

1．一般式：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0)

若已知條件是圖象上三個點的坐标，則設一般式 y＝ax^2＋bx＋c(a≠0)，将已知條件代入，求出a，b，c的值。

2．頂點式：y＝a(x－h)^2＋k(a≠0)

若已知二次函數的頂點坐标或對稱軸方程與最大值或最小值，則設頂點式 y＝a(x－h)^2＋k(a≠0)，将已知條件代入，求出待定系數的值，最後将解析式化為一般式。

3．交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)

若已知二次函數圖象與x軸的兩個交點的坐标，則設交點式 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三點的坐标或其他已知條件代入，求出待定系數a的值，最後将解析式化為一般式。

六、二次函數與一元二次方程的關系:

二次函數 y＝ax^2＋bx＋ c的圖象和x軸交點有三種情況:

有兩個交點,有一個交點,沒有交點;

當二次函數y＝ax^2＋bx＋c的圖象和x軸有交點時,交點的橫坐标就是當y=0時自變量x的值,

即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根。

二次函數與一元二次方程的關系

七、二次函數的應用：

1．二次函數的應用包括以下兩個方面：

(1)用二次函數表示實際問題變量之間的關系，解決最大化問題(即最值問題)；

(2)利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似根及一元二次不等式的解集。

2．一般步驟：

(1)找出問題中的變量和常量以及它們之間的函數關系；

(2)列出函數關系式，并确定自變量的取值範圍；

(3)利用二次函數的圖象及性質解決實際問題；

(4)檢驗結果的合理性，是否符合實際意義。

考點一 、求抛物線的頂點、對稱軸、最值：

例題1

考點二 、二次函數的增減性：

例題2

方法總結：

當二次函數的表達式與已知點的坐标中含有未知字母時，可以用如下方法比較函數值的大小：

(1)用含有未知字母的代數式表示各函數值，然後進行比較；

(2)在相應的範圍内取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解；

(3)根據二次函數的性質，結合函數圖象比較。

考點三 、二次函數 y＝ax^2＋bx＋c(a≠0)的圖象與系數 a，b，c 的關系：

例題3

考點四 、抛物線的幾何變換：

例題4

考點五、 二次函數表達式的确定：

例題5

考點六、 二次函數與一元二次方程：

例題6

考點七、 二次函數的應用：

例題7

例題7解答過程

考點八 、二次函數與幾何的綜合：

例題8

例題9

例題9解答過程

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