數列性質：等差數列

1．等差數列判定方法

(1)an＋1－an＝d(常數)⇔{an}是等差數列；

(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差數列；

(3)an＝kn＋b(k，b為常數)⇔{an}是等差數列；

(4)Sn＝An2＋Bn(A，B為常數)⇔{an}是等差數列．

2、等差數列的性質

(1)在等差數列中，an＝am＋(n－m)d，d＝n－m(an－am)；

(2)當公差d≠0時，等差數列的通項公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是關于n的一次函數，且斜率為公差d；前n項和Sn＝na1＋2(n(n－1))d＝2(d)n2＋2(d)n是關于n的二次函數，常數項為0.

(3)若公差d>0，則為遞增等差數列，若公差d<0，則為遞減等差數列，若公差d＝0，則為常數列．

(4)當m＋n＝p＋q時，有am＋an＝ap＋aq，特别地，當m＋n＝2p時，則有am＋an＝2ap.

(5)若{an}是等差數列，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差數列．

(6)在等差數列{an}中，當項數為偶數2n時，S偶－S奇＝nd；當項數為奇數2n－1時，S奇－S偶＝a中，S2n－1＝(2n－1)·a中(這裡a中即an)；S奇∶S偶＝(k＋1)∶k.

(7)若等差數列{an}、{bn}的前n項和分别為An、Bn，且Bn(An)＝f(n)，則bn(an)＝(2n－1)bn((2n－1)an)＝B2n－1(A2n－1)＝f(2n－1)．

(8)“首正”的遞減等差數列中，前n項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等差數列中，前n項和的最小值是所有非正項之和．法一：由不等式組an＋1≤0(an≥0，)an＋1≥0(an≤0，)确定出前多少項為非負(或非正)；法二：因等差數列前n項和是關于n的二次函數，故可轉化為求二次函數的最值，但要注意數列的特殊性，即n∈N*.

(9)如果兩等差數列有公共項，那麼由它們的公共項順次組成的新數列也是等差數列，且新等差數列的公差是原兩等差數列公差的最小公倍數．

【注意】 公共項僅是公共的項，其項數不一定相同，即研究的應該是an＝bm.

（10）等差數列{an}則{}也是等差數列，是以a1為首相公差的一半為公差

等比數列

1．等比數列判定方法

(1)an(an＋1)＝q(q≠0)⇔{an}是等比數列；

(2)an＝c·qn(c，q均是不為零的常數)⇔{an}是等比數列；

(3)an＋1(2)＝an·an＋2(an＋1≠0)⇔{an}是等比數列．

（4）Sn= aq n -a

2．等比數列的性質

(1)在等比數列中，an＝amqn－m，q＝am(an)；

(2)當m＋n＝p＋q時，有am·an＝ap·aq，特别地，當m＋n＝2p時，則有am·an＝ap(2).

(3)若{an}是等比數列，且公比q≠－1，則數列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也是等比數列．當q＝－1，且n為偶數時，數列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是常數列0，它不是等比數列．

(4)若a1>0，q>1，則{an}為遞增數列；若a1<0，q>1，則{an}為遞減數列；若a1>0,0<q<1，則{an}為遞減數列；若a1<0,0<q<1，則{an}為遞增數列；若q<0，則{an}為擺動數列；若q＝1，則{an}為常數列．

3、等比數列通項公式及求和公式

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