容斥原理就是包含與排除的原理，要理解它，我們隻需要畫圖分析即可得到相應的計算公式。

某班有60名同學，其中47人會乒乓球、40人會籃球、35人會羽毛球，25人乒乓球籃球兩種球類都會，27人籃球羽毛球兩種球類都會，22人乒乓球羽毛球兩種球類都會，沒有人什麼都不會，問有多少名同學3項球類運動都會呢？

這是一個标準的三集合容斥原理的題，按照Venn圖可以得到下列的算式（其中包含的部分則用“ ”号，排除的部分用“-”），其中x為：

60=47 40 35-25-27-22 x，可以求得x=12。

容斥原理示例圖及計算公式1

某班有60名同學，其中47人會乒乓球、40人會籃球、35人會羽毛球，會其中兩樣球類運動的學生為32人，什麼都不會的學生為10人問有多少名同學3項運動都會？

同樣的方法，畫圖，可以得到60-10=47 40 35-32-2x，其中x為三種運動都會的學生數量。

求得x=20。

容斥原理示例圖及計算公式2

有些題，需要做一些分析處理後，才能利用容斥原理。比如，求以105為分母的最簡真分數有多少個？

第一步，需要明确最簡真分數是指分子小于分母，且分子和分母互質的分數。

第二步，将105分解質因數，105=5*21=5*3*7=3*5*7。

第三步，分析并使用容斥原理公式。

從1到105中，能夠被3整除的數有105/3=35個；

從1到105中，能夠被5整除的數有105/5=21個；

從1到105中，能夠被7整除的數有105/3=15個；

從1到105中，能夠被3、5整除的數有105/15=7個；

從1到105中，能夠被3、7整除的數有105/21=5個；

從1到105中，能夠被5、7整除的數有105/35=3個；

從1到105中，能夠被3、5、7整除的數有105/105=1個；

利用圖1中的容斥原理示例圖及計算公式，可以得出分子中有：35 21 15 -7-5-3 1 =57個與105之間有不為1的公因數。

所以，最簡真分數的個數為：105-57=48個。

我計劃寫的一些有關數學方面的内容，是通過一些典型的題目，以幫助到那些沒有進行奧數等系統訓練的同學培養數學思維，沒有特别大的難度，隻是希望力求讓孩子們掌握其思想方法。本文中讨論的容斥原理，在很多小升初的考試中都有出現，很多時候求陰影部分的面積，也可以采用容斥原理，可以得到兩個半圓的面積之和減去三角形的面積就是陰影部分的面積。

利用容斥原理求解陰影部分面積示例圖

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