上節課我們學習了極限的相關知識概念及解題方法，今天我們學習無窮小的有關知識。

什麼是無窮小？ 無窮小是指在某一極限過程中以零為極限的變量稱為無窮小

在無窮小的定義中我們提到了極限，那極限與無窮小又有什麼關系呢？

從無窮小與無窮大的比較中我們看到，a為無窮小量，那麼1/a就為無窮大量。在這裡提醒大家在解題時我們可以把0理解為無窮小，但是無窮小不是0，隻是無限趨近于0，這一點是易混淆之處。

無窮小的運算性質：（1）有限個無窮小的代數和仍為無窮小（2）有限個無窮小的積仍為無窮小（3）有界變量與無窮小的乘積亦為無窮小。對于（3）我們強調下有界變量類似于sinx，cosx等等其值域在[-1,1],所以與無窮小的乘積還是無窮小。

注意：1.無窮大量不具有無窮小量相應的運算性質，不可将無窮小量的運算性質應用到無窮大量運算之中。2.無窮大量的運算性質通常轉化為無窮小量的運算來進行。

設a（x）與b（x）為同一個極限過程中的無窮小，且存在極限lima（x）/b（x）=t

（1）若t≠0，則稱a（x）與b（x）在該極限過程中為同階無窮小

（2）若t=1，則稱a（x）與b（x）在該極限過程中為等價無窮小，記為a（x）--b（x）

（3）若t=0，則稱在該極限過程中a（x）是b（x）的高階無窮小，記為a（x）=o（b（x））

當然，若lima（x）/b（x）不存在（且不為∞），稱a（x），b（x）不可比較

常見的等價無窮小

當x→0時，sinx--x，tanx--x，ln（1 x）--x，e^x-1--x，a^x-1--xlna，arcsinx--x，arctanx--x

1-cosx--x²/2，（1 ax）^b-1--abx

學習了無窮小接下來看幾道題目

解：這個題拿過來，先把0帶入分子分母為0/0型，那就可以用我們的等價無窮小來代替，分子代替為

xln（2 cosx/3），分母為x^3，約分之後limln（2 cosx/3）/x²，分子可以寫成ln（1 （cosx-1）/3）

再利用等價無窮小ln（1 x）--x把分子替換為cosx-1/3，再根據等價無窮小1-cosx--x²/2把分子改寫為-x²/6，

而分母是x²，約分之後為-1/6。

注意再在每次使用等價無窮小進行替換時要注意帶入x→0看分子分母是否滿足0/0 型，這個題目3次用等價無窮小，3次必須全部滿0/0型。

這個題目就看x→0時，lima（x）/b（x）是否為0，首先排除A,B為什麼因為1-cosx--x²/2，階數AB是一樣的，為2階，所以都排除，C有平方還有平方根更要排除，階數1階比A,B都要低，再看D，lim（x-tanx）/x²，符合0/0型，洛必達法則lim（1-sec²x）/2x=lim-tan²x/2x=lim-x/2=0，所以答案為D

親愛的小夥伴們，這就是我們今天所講的關于無窮小的概念、運算性質及等價無窮小替換方面的知識，不懂得以及小編做的不足之處可以反饋給小編，及時的收藏下，關注下小編，小編每天也會及時的更新數學方面的知識，感恩一路有你們陪伴。

下節課我們講有關連續與間斷方面的知識。

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