前面用了三篇文章說明了為什麼要建立乘法分配律的幾何表象，在教學中如何運用幾何表征探究乘法分配律，分析了學生在學習中遇到的乘法分配律。細心的讀者會感覺到，小數點兒的理念是不是改變了教材的意圖，自己另辟蹊徑改編教材，這樣大膽的行為有足夠的的理論依據嗎？小數點兒在這裡隻是自己對教材的思考和延伸，并無意颠覆教材，而是從教材出發豐厚對教材以及知識的解讀和嘗試，為了給讀者說清自己的觀點，補充此篇文章，希望可以引發關注我的“有溫度”的數學朋友的讨論，希望能給大家帶來思考，在此為謝！

乘法分配律關鍵在于理解“分”着算與“合”着算的關系。乘法分配律重點不在于“算”，而在于如何“算”，如何算？也不是指先算什麼、再算什麼。而是可以分開算還是合起來算。“先算什麼、再算什麼”指的是運算順序，而我們要研究的是運算性質。這個運算性質就是指在乘法運算中可以一步算完，也可以分成若幹步進行計算，目的就是為了簡便。

另外，乘法分配律中的“兩邊相等”，不是“算”出來的，而是“證明”出來的。通過計算簡單幾個例子還不能證明一個規律的存在，規律的得來要歸納、更要演繹。在“幾何表征、情景表征”中不用計算也會知道兩邊相等。這就是演繹，如幾何表征的演繹過程：大前提：兩個小長方形的面積等于大長方形的面積。；小前提：“分開算”計算的是兩個小長方形面積的和，“合着算”計算的是一個大長方形的面積；結論：分開算＝合着算

乘法分配律是針對兩個數相乘的運算性質，有了加、減法的參與，使其難度增加。乘法分配律難在“分”與“合”的轉換，轉換的出發點就是“簡便”。簡便有兩個層次，一是大數變小數，二是小數合起來是整十、整百數。乘法分配律遷移到“減法”後，不要糾結是“合起來算”還是“分開算”！加、減是互逆關系，屬于同一種運算的兩個不同方向。分與合沒有特指“加”的意思，隻是在運算形式上“一起算”。

2012年首都師範大學數學研究院曾小平、韓龍淑寫過一篇文章“讓學生經曆知識的形成過程——以‘乘法分配律’的教學為例”。其觀點與我相似，不同的是文章作者将“幾何法”作為證明“乘法分配律”的一種方法，而我卻将其作為得出“乘法分配律”的途徑。而對于如何發現乘法分配律，文章作者與教材安排類似，都是通過實際問題發現乘法分配律。然後用幾何法、代數法進行一系列的證明。從邏輯上來說，這樣教學是嚴謹的，但從經曆知識的形成過程來看，似乎不是很明顯。乘法分配律到底是如何産生的，至少我沒有找到确切的依據。但從知識發展的先後看，幾何要遠遠早于代數。乘法分配律作為早已存在的規律，對于它的發現過程，可能要靠後人去猜測。這樣看來，哪一種猜測是合理的，是易于學生接受的呢。我們不妨設想一個場景，在古埃及人們要用規則的長方形石闆鋪設王宮前面的廣場。這些石闆經過加工變成都是一樣長，隻是有的寬有的窄。如何記錄這些石闆呢？每個石塊都記錄長和寬太麻煩，于是人們就這樣記錄：

25×（4＋5＋3＋8）

你知道它記錄的是多少塊石闆嗎？

這些石闆長都是25，寬分别是4、5、3、8

這樣記錄不但方便，而且計算面積還很方便，他把許多小長方形拼成了大長方形，隻計算一個大長方形面積就可以了。

從這樣的角度出發，乘法分配律從幾何入手我覺得更恰當。

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