初中數學菱形的定義題及答案?【知識梳理】1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（既是性質也是判定），我來為大家講解一下關于初中數學菱形的定義題及答案?跟着小編一起來看一看吧!

初中數學菱形的定義題及答案

【知識梳理】

1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（既是性質也是判定）

2.性質：

1.邊：對邊平行且相等（共有）；四邊均相等（獨有）；

2.角：對角相等、鄰角互補（共有）；

3.對角線：互相平分（共有）；互相垂直（獨有）；平分對角（獨有）。

①注意：是“平分、垂直”而不是“相等”；

②菱形的一條對角線把平行四邊形分成兩個面積相等的三角形（共有），

菱形的兩條對角線把平行四邊形分成兩個面積相等的三角形（共有）；

③面積公式：底×高（共有）；兩條對角線乘積的一半（獨有），如圖：

4.對稱性

菱形是軸對稱圖形，兩條對角線所在的直線是它的兩條對稱軸；

菱形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心；

5.菱形常見輔助線

【典型例題】

例1.菱形具有而平行四邊形不具有的性質是( )

A.兩組對邊分别平行 B.兩組對角分别相等

C.對角線互相平分 D. 對角線互相垂直

【解析】對角線垂直是菱形區别于平行四邊形的獨有性質，選D

例2.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足為點E，則OE＝______．

【解析】數學典型模型：“雙垂型”的面積用法；利用菱形“對角線垂直”的性質、勾股定理及三角形面積公式解答。∵菱形的對角線互相垂直平分，∴OB＝3，OC＝4，∠BOC＝90°．由勾股定理可得BC＝5．則OB·OC＝BC·OE，即3×4＝5OE．∴OE＝12/5．

例3如圖，菱形中，對角線AC、BD交于點O，E為AD邊中點，菱形ABCD的周長為28，則OE的長等于____

【解析】利用菱形“四邊相等”、“對角線平分”的性質及中位線定理解題.∵菱形ABCD的周長為28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E為AD邊中點，∴OE是△ABD的中位線，∴OE=3.5．

例4.求證：菱形的兩條對角線互相垂直．

已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O．求證：AC⊥BD．

以下是排亂的證明過程：

①又BO=DO；

②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；

③∵四邊形ABCD是菱形；

④∴AB=AD．

證明步驟正确的順序是（　）

A．③→②→①→④ B．③→④→①→②

C．①→②→④→③ D．①→④→③→②

【解析】利用菱形“四邊相等”的性質及等腰三角形“三線合一”性質解題.∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，∵對角線AC，BD交于點O，∴BO=DO，∴AO⊥BD，即AC⊥BD，∴證明步驟正确的順序是③→④→①→②，選B.

例5.如圖，在菱形ABCD中，點P是對角線AC上的一點，PE⊥AB于點E，若PE=3，則點P到AD的距離為

【解析】利用菱形“對角線平分對角”及角平分線的性質解答

作PF⊥AD于點F，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC是∠DAB的角平分線，∴PF=PE=3，即點P到AD的距離為3.

例6.如圖，菱形ABCD的對角線AC、BC相交于點O，E、F分别是AB、BC邊上的中點，連接EF，若EF=√3，BD=4，則菱形ABCD的周長為___．

【解析】利用菱形“對角線垂直平分”、“四邊相等”的性質及中位線定理解題。由題易得：EF是△ABC的中位線，則AC=2EF=2√3，由OA=√3，BO=2，由勾股定理可得AB=√7，所以菱形的周長為4√7。

例7.如圖，菱形ABCD的面積為120，正方形AECF的面積為50，則菱形的邊長為_______.

【解析】利用菱形“對稱性”、“對角線垂直平分”的性質解題。連結AC、BD交于點O，由對稱性知，菱形的對角線BD過點E、F，由菱形性質知，BD⊥AC，∴BD×AC÷2=120①，又正方形的面積為50，∴AE＝5√2， AO*2＋EO*2＝50，∴AO＝EO＝5所以，AC＝10，代入①式，得BD＝24，∴BO＝12，由勾股定理可得AB＝13

例8.如圖，在周長為12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P為對角線BD上一動點，則EP FP的最小值為_______

【解析】“将軍飲馬問題”，利用菱形的對稱性質可解題．

解：作F點關于BD的對稱點F′，則PF=PF′，連接EF′交BD于點P．∴EP FP=EP F′P．由兩點之間線段最短可知：當E、P、F′在一條直線上時，EP FP的值最小，此時EP FP=EP F′P=EF′．∵四邊形ABCD為菱形，周長為12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四邊形AEF′D是平行四邊形，∴EF′=AD=3．∴EP FP的最小值為3．

例9.已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的兩邊分别與射線CB，DC相交于點E，F，且∠EAF=60°．

（1）如圖1，當點E是線段CB的中點時，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數量關系；

（2）如圖2，當點E是線段CB上任意一點時（點E不與B、C重合），求證：BE=CF；

（3）如圖3，當點E在線段CB的延長線上，且∠EAB=15°時，求點F到BC的距離．

【解答】

（1）連接AC，利用菱形性質及等腰三角形“三線合一”解題；

解：結論AE=EF=AF．理由：如圖1中，連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，△ADC是等邊三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，∵∠EAF=60°，∴∠CAF=∠DAF=30°，∴AF⊥CD，∴AE=AF（菱形的高相等），∴△AEF是等邊三角形，∴AE=EF=AF．

（2）連接AC，利用菱形性質，通過三角形全等可證明；

證：如圖2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，∵∠BAE=∠CAF，BA=AC，∠B=∠ACF，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．

（3）由題易得：∠AEB=45°，利用“45°角常見添輔助線方法”構造直角三角形，利用角度的等量代換，易得△AEF是等邊三角形，△CHF是含30角的直角三角形，利用特殊角與邊的關系，即可得出F到BC的距離.

解：過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，∴BG=2，AG=2√3，在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=2√3，∴EB=EG﹣BG=2√3﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=2√3﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，∵∠EAF=60°，AE=AF，∴△AEF是等邊三角形，∴∠AEF=∠AFE=60°∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，在RT△EFH中，∠CEF=15°，∴∠EFH=75°，∵∠AFE=60°，∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2√3﹣2，由勾股定理可得FH=（2√3﹣2）（√3/2）=3﹣√3．∴點F到BC的距離為3﹣√3．

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