離散數學是編程人員進階的必修科目,是計算機專業學生的基礎課程之一,多為理論性知識,較抽象。
【離散數學】第一章(集合論基礎)的小節主要有:
在這篇中我們讨論1.5集合的計算的最後一小節-集合的運算律
本篇包含兩個知識點:1.簡單定律,2.特殊定律
大難題分解為小問題
簡單定律集合的簡單運算律中,有很多地方與我們學過的實數的運算律相似甚至相同。集合的簡單運算律有三種,分别是交換律,結合律和分配律。
我們知道在實數中,對于任意兩個數a,b,有a×b = b×a(a b = b a),這是實數的交換律;
在集合中,設A,B為任意兩個集合,設二元運算F(F為交運算,或者并運算,或者對稱差運算時),則有F(A, B)=F(B, A),這是集合的交換律。(可推廣到無窮多個集合之間)
例如:F為交運算時,F(A,B)=A∩B;F(B,A)=B∩A,有A∩B=B∩A。
在實數中,對于任意三個數a,b,c,有(a×b)×c = a×(b×c),這是實數的結合律;
在集合中,設A,B,C為任意三個集合,若A,B,C進行相同的二元運算時,任意兩個集合之間進行二元運算都滿足交換律,則運算順序不同的式子之間可以替換,這是集合的結合律。(可推廣到無窮多個集合之間)
例如:F為交運算時,A ∩ (B∩C) = (A∩B) ∩ C。
在實數中,對于任意三個數a,b,c,有(a b)×c = (a×c) (b×c),這是實數的分配律;
在集合中,設A,B,C為任意三個集合,設兩種二元運算F和P(F、P為交運算或者并運算或者對稱差運算時),F[P(A,B),C]=P[F(A,C),F(B,C)]。(可推廣到無窮多個集合之間)
例如:F為交運算,P為并運算時,有A ∩ (B∪C) = (A∪B)∩(A∪C)。等号左邊B與C先進行并運算,得到的結果再與A進行交運算。等号右邊B和C先分别與C進行交運算,得到的結果再進行補運算,兩式結果相同。
分配律的核心在于“拆合”。
兩個複雜的數進行一次運算,通過分配律拆分(合并)成簡單的數進行多次運算。
比如計算16×625,可以簡化為(2×2×2×2)×(5×5×5×5)=(2×5)×(2×5)×(2×5)×(2×5),結果為10^4
兩個複雜的集合進行一次運算,拆分(合并)成簡單的集合進行多次運算。
分配律的思想很重要
特殊定律集合的特殊定律有七條:幂等律,同一律,零律,吸收律,矛盾律(排中律),雙重否定律和德摩根律。
任意集合與自己的交集是自己,任意集合與自己的并集也是自己
A∩A=A,A∪A=A
幂是次方的意思,幂等即意味着自己與自己進行運算得到相同的結果。
因為集合沒有不屬于集合自身的元素,所以自身的交運算和并運算的結果都是自己。
任意集合與空集進行并運算得到自己,全集之内的任意集合與該全集進行交運算得到自己。
A∪∅=A,A∩U=A
因為空集是任何集合的子集,任何集合與自己的子集進行并運算的結果都是自己。
A是全集的子集,所以A和全集相同的元素的集合就是A。
任意集合與空集進行交運算得到空集,任意集合與全集進行并運算得到全集。
A∩∅=∅,A∪U=U
A,B為任意兩個集合,A與B的交集再并上A的結果是A,A與B的并集再與A求交集的結果是A。。
A∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=A
因為A,B的交集是A的子集,所以A和它的子集進行并運算得到結果是A。
任意集合的補集與自己進行交運算得到空集,任意集合的補集與自己進行并運算得到全集。
~A∩A=∅,~A∪A=U
A的補集與A沒有相同的元素,所以它們的交集是空集。第二條由補集的定義可證。
任意集合的補集的補集是它自己。
~(~A)=A
A,B為任意集合,A與B的并集進行補運算得到A的補集和B的補集求交運算,A與B的交集進行補運算得到A的補集和B的補集求并運算。
~(A∪B)=(~A)∩(~B),~(A∩B)=(~A)∪(~B)
前六條定律的證明都很簡單,舉例簡單證明一下德摩根律:
設A={3,4,5,6},B={5,6,7,8},全集U={x|2≤x≤9}
證:~(A∪B)=(~A)∩(~B)
因為:A∪B={3,4,5,6,7,8}
所以:~(A∪B)={2,9}
因為:~A={2,7,8,9},~B={2,3,4,9}
所以:(~A)∩(~B)={2,9}
上式得證
同理可證第二條。
學習筆記必不可少
以上就是1.5(下)集合的運算律的全部内容,如果對您有幫助的話,可以點一個贊。如果有錯誤的話,感謝指出。
本篇内容為集合論基礎的重點,部分内容在高中已經學習,整體難度偏低,重在理解。完全理解并掌握本篇所有的知識将對學習後面的内容有較大的幫助。至此,離散數學-集合論基礎部分已講完。
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