離散數學是編程人員進階的必修科目，是計算機專業學生的基礎課程之一，多為理論性知識，較抽象。

【離散數學】第一章（集合論基礎）的小節主要有：

在這篇中我們讨論1.5集合的計算的最後一小節-集合的運算律

本篇包含兩個知識點：1.簡單定律，2.特殊定律

大難題分解為小問題

集合的簡單運算律中，有很多地方與我們學過的實數的運算律相似甚至相同。集合的簡單運算律有三種，分别是交換律，結合律和分配律。

1. 交換律

我們知道在實數中，對于任意兩個數a,b，有a×b = b×a(a b = b a)，這是實數的交換律；

在集合中，設A,B為任意兩個集合，設二元運算F(F為交運算，或者并運算，或者對稱差運算時)，則有F(A, B)=F(B, A)，這是集合的交換律。（可推廣到無窮多個集合之間）

例如：F為交運算時，F(A,B)=A∩B；F(B,A)=B∩A，有A∩B=B∩A。

2. 結合律

在實數中，對于任意三個數a,b,c，有(a×b)×c = a×(b×c)，這是實數的結合律；

在集合中，設A,B,C為任意三個集合，若A,B,C進行相同的二元運算時，任意兩個集合之間進行二元運算都滿足交換律，則運算順序不同的式子之間可以替換，這是集合的結合律。（可推廣到無窮多個集合之間）

例如：F為交運算時，A ∩ (B∩C) = (A∩B) ∩ C。

3. 分配律

在實數中，對于任意三個數a,b,c，有(a b)×c = (a×c) (b×c)，這是實數的分配律；

在集合中，設A,B,C為任意三個集合，設兩種二元運算F和P(F、P為交運算或者并運算或者對稱差運算時)，F[P(A,B)，C]=P[F(A,C)，F(B,C)]。（可推廣到無窮多個集合之間）

例如：F為交運算，P為并運算時，有A ∩ (B∪C) = (A∪B)∩(A∪C)。等号左邊B與C先進行并運算，得到的結果再與A進行交運算。等号右邊B和C先分别與C進行交運算，得到的結果再進行補運算，兩式結果相同。

分配律的核心在于“拆合”。

兩個複雜的數進行一次運算，通過分配律拆分(合并)成簡單的數進行多次運算。

比如計算16×625，可以簡化為(2×2×2×2)×(5×5×5×5)=(2×5)×(2×5)×(2×5)×(2×5)，結果為10^4

兩個複雜的集合進行一次運算，拆分(合并)成簡單的集合進行多次運算。

分配律的思想很重要

集合的特殊定律有七條：幂等律，同一律，零律，吸收律，矛盾律(排中律)，雙重否定律和德摩根律。

1. 幂等律

任意集合與自己的交集是自己，任意集合與自己的并集也是自己

A∩A=A，A∪A=A

幂是次方的意思，幂等即意味着自己與自己進行運算得到相同的結果。

因為集合沒有不屬于集合自身的元素，所以自身的交運算和并運算的結果都是自己。

2. 同一律

任意集合與空集進行并運算得到自己，全集之内的任意集合與該全集進行交運算得到自己。

A∪∅=A，A∩U=A

因為空集是任何集合的子集，任何集合與自己的子集進行并運算的結果都是自己。

A是全集的子集，所以A和全集相同的元素的集合就是A。

3. 零律

任意集合與空集進行交運算得到空集，任意集合與全集進行并運算得到全集。

A∩∅=∅，A∪U=U

4. 吸收律

A,B為任意兩個集合，A與B的交集再并上A的結果是A，A與B的并集再與A求交集的結果是A。。

A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A

因為A,B的交集是A的子集，所以A和它的子集進行并運算得到結果是A。

5. 矛盾律

任意集合的補集與自己進行交運算得到空集，任意集合的補集與自己進行并運算得到全集。

~A∩A=∅，~A∪A=U

A的補集與A沒有相同的元素，所以它們的交集是空集。第二條由補集的定義可證。

6. 雙重否定律

任意集合的補集的補集是它自己。

~(~A)=A

7. 德摩根律

A,B為任意集合，A與B的并集進行補運算得到A的補集和B的補集求交運算，A與B的交集進行補運算得到A的補集和B的補集求并運算。

~(A∪B)=(~A)∩(~B)，~(A∩B)=(~A)∪(~B)

前六條定律的證明都很簡單，舉例簡單證明一下德摩根律：

設A={3,4,5,6}，B={5,6,7,8}，全集U={x|2≤x≤9}

證：~(A∪B)=(~A)∩(~B)

因為：A∪B={3,4,5,6,7,8}

所以：~(A∪B)={2,9}

因為：~A={2,7,8,9}，~B={2,3,4,9}

所以：(~A)∩(~B)={2,9}

上式得證

同理可證第二條。

學習筆記必不可少

以上就是1.5(下)集合的運算律的全部内容，如果對您有幫助的話，可以點一個贊。如果有錯誤的話，感謝指出。

本篇内容為集合論基礎的重點，部分内容在高中已經學習，整體難度偏低，重在理解。完全理解并掌握本篇所有的知識将對學習後面的内容有較大的幫助。至此，離散數學-集合論基礎部分已講完。

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