【考試要求】

1.結合學過的函數圖象，了解函數零點與方程解的關系；

2.結合具體連續函數及其圖象的特點，了解函數零點存在定理．

【知識梳理】

1.函數的零點

(1)函數零點的概念

對于函數y＝f(x)，把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)的零點.

(2)函數零點與方程根的關系

方程f(x)＝0有實數根⇔函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點⇔函數y＝f(x)有零點.

(3)零點存在性定理

如果函數y＝f(x)滿足：①在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線；②f(a)·f(b)<0；則函數y＝f(x)

在(a，b)上存在零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根.

2.二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點的關系

【規律方法】　确定函數f(x)的零點所在區間的常用方法：

(1)利用函數零點的存在性定理：首先看函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數y＝f(x)在區間(a，b)内必有零點.

(2)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷.

【規律方法】　函數零點個數的判斷方法：

(1)直接求零點，令f(x)＝0，有幾個解就有幾個零點；

(2)零點存在性定理，要求函數在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，再結合函數的圖象與性質确定函數零點個數；

(3)利用圖象交點個數，作出兩函數圖象，觀察其交點個數即得零點個數.

【規律方法】　1.已知函數的零點求參數，主要方法有：(1)直接求方程的根，構建方程(不等式)求參數；(2)數形結合；(3)分離參數，轉化為求函數的最值.

2.已知函數零點的個數求參數範圍，常利用數形結合法将其轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題，需準确畫出兩個函數的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數範圍.

【反思與感悟】

1.轉化思想在函數零點問題中的應用

方程解的個數問題可轉化為兩個函數圖象交點的個數問題；已知方程有解求參數範圍問題可轉化為函數值域問題.

2.判斷函數零點個數的常用方法

(1)通過解方程來判斷.

(2)根據零點存在性定理，結合函數性質來判斷.

(3)将函數y＝f(x)－g(x)的零點個數轉化為函數y＝f(x)與y＝g(x)圖象公共點的個數來判斷.

【易錯防範】

1.若函數y＝f(x)在閉區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，則函數y＝f(x)一定有零點.特别是，當y＝f(x)在[a，b]上單調時，它僅有一個零點.

2.函數零點的存在性定理隻能判斷函數在某個區間上的變号零點，而不能判斷函數的不變号零點，而且連續函數在一個區間的端點處函數值異号是這個函數在這個區間上存在零點的充分不必要條件.

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