從三角形的穩定性知道，三角形的三邊确定後，它的形狀也就确定了。那麼，已知三角形的三邊長度，如何計算這個三角形的三個内角的度數呢？

關于這個問題，可謂前人之述備矣。首先介紹不用公式和函數表的行軍三角學，第二單元再論述這個問題的普通解法。

《趣味幾何學》第五章：不用公式和函數表的行軍三角學。

本章介紹的是大大簡化的三角學。首先簡述了正弦函數的概念，然後論述了如何自己編制一個正弦函數表。當然，由于是簡化三角學，這張表給出的是0°到90°之間每隔一度的角度的正弦值，精度為小數點後兩位。

由于代數課本裡教的開平方的方法很容易忘記，所以别萊利曼又介紹了一個容易理解和掌握的開平方方法。

接下來介紹了根據已知正弦值求角度的近似方法。這樣，别萊利曼就完成了全部的準備工作。現在我們可以從角度求出它的正弦值，也會從它的正弦值求出角度，而且精度滿足簡化三角學的要求。

當你在郊外旅行的時候，身邊沒有三角函數表，三角公式又忘記了，這種簡化三角學很有用處，能夠計算三角形的邊長精确到2%，三角形的内角精确到1°。例如魯濱遜，他在荒島上可以用這種簡化三角學解決許多問題。

這種簡化三角學隻使用正弦函數，難道這就夠了？對于這個疑問，作者用5道例題證明，隻知道正弦函數已經完全夠用了。例題精選：三角形地區

［題］我們在旅行中，用腳步量出了一個三角形地區三邊的長度，是43,60和54步。這三角形的三個角的度數各是多少？

題目背景

題目來自蘇聯科普作家别萊利曼的經典著作《趣味幾何學》。

［解］這種由三邊來解三角形的題目，是解三角形中最複雜一種情形。但是我們也同樣有辦法解答這個題目，除正弦外不用其它三角函數。

在最長的一邊 AC 上作三角形的高 BD （圖96)，得：

BD²=43²-AD² ,

BD²=54²-DC²,

從上列二式得：

43²- AD²=54²-DC²,

DC² - AD² =54²-43²=1070。

但是

DC² - AD²=( DC AD )( DC - AD )

=60( DC - AD )。

因此

60( DC - AD )=1070,

DC - AD =17.8。

由 DC - AD =17.8,

DC AD =60,

得：2DC=77.8,

就是 DC=38.9。

現在就不難算出三角形的高來：

BD =√(54²-38.9²)=37.4,

從這裡可以求出：

SinA =BD:AB=37.4:43=0.87,

A≈60°。

sinC =BD:BC=37.4:54=0.69,

C≈44°。

第三個角

B =180°-( A C )=76°。

假如我們現在再用學校裡的三角學課本所教給我們的方法，利用函數表來解出這個題目，那麼，馬上可以得到精确到幾分幾秒的各角的度數。但是這些分秒我們可以斷定它們一定是錯誤的，因對用腳步量出來的三角形的邊長，至少會有2%~3％的誤差。因此，我們用不着欺騙自己，我們必須把所得到的角度的“精确”值至少變成一個整度數。那麼，我們所得到的答案将和方才簡化方式所得時一樣。所以，在這一類的情形，我們的“行軍三角學”的确是很切實用的。

一般的思路是利用餘弦定理解題。先看公式：

上圖是餘弦定理的基本公式。公式雖然有三個，但寫出一個後，可以通過循環置換得到另外兩個。

當我們要求邊時，有變式1：

如果要求角，有兩個變式：

求角的變式1

還有一個變式：

求角的變式2

還有關于特殊角的溫馨提示：

幾個邊角轉化特例

還有餘弦定理的角元形式：

餘弦定理還有一個很有用的變式：

求面積請看下圖：

現在回到例題三角形地區，我們用餘弦定理求角的變式2來解答。

下面，我們先求角A。直接套公式可得：

用微軟數學計算反三角函數

上圖計算得出的角A的度數是弧度，我們把它轉化為角度：

弧度×180÷π=角度

1.057683623×180÷π

=60.600807658°

=60.6°

順便說一下，已知角度轉化為弧度的公式是：弧度=角度×π÷180

接下來繼續求角B。

同理可得，

角B的角度(弧度）

把弧度轉化為角度：

那麼，角C也知道了：

C=180-（60.6 75.5）=43.9°

還有一個問題，如果出題老師把題目變一下，從已知三邊變成已知兩邊和夾角，那麼，還會不會做呢？

這很簡單，請看下圖：

張景中先生科普書中的資料。

對于隻用到正弦函數的簡化三角學，下面這張表最合适。

《趣味幾何學》是蘇聯著名科普作家别萊利曼百餘部作品之一。

這本書不僅為數學愛好者而寫，也為那些還沒有發現數學上許多引人入勝的東西的讀者寫的。

許多讀者曾經在學校（或現在正在學）學過幾何學，但并不習慣去注意在我們周圍世界裡各種事物常見的幾何關系。不會在實際方面應用學到的幾何學知識。在生活中遇到困難的時候，在郊遊和露營的時候，不知道怎樣應用學到的幾何學知識。

引起讀者對幾何學的興趣，或者照作者的話說：“引起研究它的願望，培養研究它的嗜好，是本書的主要任務。”

為了這個目的，作者把幾何學從學校教室的圍牆裡，從科學的圍城中，引到戶外去，到樹林裡，到原野上，到河邊，到路上，在那裡擺脫教科書和函數表，無拘無束地來做幾何作業，利用幾何知識重新認識美麗的世界......

例如不用公式是函數表的行軍幾何學。教材裡的幾十個三角公式讓許多學生望而生畏，而簡化三角學居然隻用正弦函數，不用公式和函數表，就能解決許多實際問題，精度滿足行軍三角學的要求。

例如本文提到的已知三邊求三角的問題，普通思路是用餘弦定理解題。而作者堅信行軍三角學的存在，所以，隻用正弦函數也能解決問題。而且，綜覽全書，居然沒有使用正弦定理，我覺得用了也不犯規啊。

在此，也能夠感受到信念的力量。因為相信，所以看見。所以能夠超越常規思路的局限，看見隻用正弦函數的精彩解法。

作者的精彩解法包含了正弦函數的概念，勾股定理，平方差公式，列方程以及小學數學的和差問題等等知識點。這些知識點并不難，但是作者的綜合法和靈活運用讓人贊歎。

這背後蘊藏着熟能生巧的原理。熟練不僅生巧，還能夠帶來牢固，産生靈活。所以，天下沒有免費的午餐，同學們，學習沒有捷徑，請從多做練習開始吧！

今天是七夕節，祝大家七夕快樂！

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