已知：如圖，在 Rt △ABC 中 ， ∠C = 90° ，a , b , c , 分别為 ∠A , ∠B , ∠C 所對應的邊，⊙O 為 Rt △ABC 的内切圓 ，半徑為 r 。
求證：2r = a b - c 。
圖
證法一、(切線長的性質)：
過 ⊙O 分别作 OF⊥AC ， OE⊥BC ， OD⊥AB 垂足分别為 F 、E、D ，則有 OF = OE = OD = r
在 Rt △AOF 和 Rt △AOD 中 由勾股定理得 ：
AO^2 = AF^2 OF^2 = AD^2 OD^2
所以可得： AF = AD
同理可得：BD = BE
在 Rt △ABC 中
∵ a = CE EB = r BE ,
b = CF FA = r FA ,
c = AD DB 。
∴ c = b - r a - r = b a - 2r
∴ 2r = a b - c
證法二、（等積法）
連接 OA , OB , OC
S△ABC = 1/2 ab
S△OAB = 1/2 rc
S△BOC = 1/2 ra
S△COA = 1/2 rb
∵ S△ABC = S△OAB S△BOC S△COA
∴ 1/2 ab = 1/2 rc 1/2 ra 1/2 rb 即 ab = r ( a b c ）
∵ 在 Rt △ABC 中 a^2 b^2 = c^2
∴ a^2 b^2 2ab = c^2 2ab 即 ( a b )^2 - c^2 = 2ab
∴ （ a b c）( a b - c ) = 2ab = 2r ( a b c )
∴ 2r = a b - c
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