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中心極限定理成立的條件

圖文更新时间:2024-12-27 06:29:38

中心極限定理成立的條件（中心極限定理的理解與證明）1

圖1

中心極限定理成立的條件（中心極限定理的理解與證明）2

再進一步：

中心極限定理成立的條件（中心極限定理的理解與證明）3

圖2

注意，這裡已經是将

中心極限定理成立的條件（中心極限定理的理解與證明）4

即随機變量之和作為一個變量看待。對圖1中的分子分母都除以n之後，定理變成：

中心極限定理成立的條件（中心極限定理的理解與證明）5

圖2

圖2中的變量又變成了樣本的均值。

舉例：假如現在要調查某個學校學生的政治成績，要計算學生政治的平均成績。要是去收集每個學生的成績，然後加總，再除以學生總數，整個工作力度很大，成本也高。這時候中心極限定理就派上用場了，可以先從校園中随機的抽取50個人，然後計算這50個人的平均成績，每個學生記為Xi,計算平均成績;然後再随機的抽取的50個人，再計算平均成績;一直這樣随機的抽取，到最後進行了m次，一共得到m個平均成績，中心極限定理說的就是這m個平均成績的分布是正态分布，它們的均值就是該校學生政治的平均成績。這裡假設每個學生的成績服從【0-100】間的均勻分布。

中心極限定理成立的條件（中心極限定理的理解與證明）6

圖3 m個不同平均成績的概率分布

中心極限定理還有一點要注意，就是不管Xi 服從的是何種分布，隻要它們相互獨立且分布相同，隻要樣本量足夠大，其均值最終都會服從正态分布。

再比如：從指數分布中提取樣本

中心極限定理成立的條件（中心極限定理的理解與證明）7

圖4

從圖4的指數函數曲線上每次随機抽取200個數據點，計算樣本的均值，并将其繪制在直方圖上。計算1000個這樣的樣本的均值，并将其畫在直方圖上，樣本均值還是正态分布。所以，

中心極限定理意味着即使數據分布不是正态的，從中抽取的樣本均值的分布也是正态的。

那麼，中心極限定理如何證明呢？

首先要用到特征函數：

中心極限定理成立的條件（中心極限定理的理解與證明）8

中心極限定理成立的條件（中心極限定理的理解與證明）9

中心極限定理成立的條件（中心極限定理的理解與證明）10

中心極限定理成立的條件（中心極限定理的理解與證明）11

中心極限定理成立的條件（中心極限定理的理解與證明）12

中心極限定理成立的條件（中心極限定理的理解與證明）13

中心極限定理的證明：

中心極限定理成立的條件（中心極限定理的理解與證明）14

圖5

上面的變化用到了下面兩個推導：

中心極限定理成立的條件（中心極限定理的理解與證明）15

中心極限定理成立的條件（中心極限定理的理解與證明）16

則圖5中

中心極限定理成立的條件（中心極限定理的理解與證明）17

中心極限定理成立的條件（中心極限定理的理解與證明）18

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