有些數字比其他數字更容易出現在公式中。有些人甚至會說，有些數字比其他數字更重要。但是為什麼呢？在這篇文章中，我将展示一些美麗的公式，它們都包含π，并試圖理解為什麼π在數學中随處可見。

介紹

如果π隻滲透到幾何和三角學領域，而不是數學的其他子領域，就不足為奇了。然而，π存在于數學的許多領域，在某些情況下，我們很難理解為什麼π會出現。

π存在于數論、微積分、代數、概率論和統計學等學科中，如果你有研究，會發現它非常神奇和有趣。

π以某種形式出現，應該意味着某個地方隐藏着一個圓，而在某些情況下，似乎并沒有。

回憶一下，π就是任何圓的周長除以直徑得到的精确數字。

下面的公式都會出現π。我将試圖解釋為什麼會出現（π）？

萊布尼茨公式

讓我們從結果開始：

這個交替級數收斂于π/4。π為什麼會出現在這個級數中？它來自于一個三角函數。已知幾何級數：

當|x| < 1時成立。我們在兩邊用-x^2替換x，得到：

兩邊從0到1積分會得到：

其中arctan是反正切函數。

布馮針問題

在18世紀，喬治-路易·勒克萊爾，布馮伯爵提出了以下問題：

假設有一張紙，在上面畫等距的平行線，然後在紙上放一根針，針的長度與兩線之間的距離相等。針與其中一條線相交的概率是多少？

這個問題的答案是2/π，但是“圓”藏在哪裡呢？

假設針的中心落在兩條線之間，我們可以不失一般性地假設針以及兩條線之間的距離是2個單位長。

設針的中心為x，我們把這兩條直線放在一個坐标系中，使得最接近x的垂直線在0處穿過x軸（因此，它就扮演了第二個軸的角色）。我們可以用下圖來說明：

紅藍線說明了這個實驗的兩種不同結果。這個圓說明了當針的中心為x時所有可能的結果。請注意，針永遠不能相交于兩條線，所以我們可以假設x在兩條直線的中心線的左邊。兩條直線的中心在x=1處。

從上圖可以看出cos(θ) = x，因為我們需要讓x變化，所以需要反餘弦函數，也就是arccos。公式變成了θ = arccos(x)。

我們需要把所有的面積比加起來，有無窮個（面積比），因為x的每一個值都會給出一個這樣的比值。但我們有微積分工具，可以對x從0到1積分得到所有比值的和。

現在我們可以用分部積分法對arccos(x)求導，來證明arccos(x)的不定積分是x arccos(x) - sqrt(1- x²) C。

最後得到 p = 2/π。這個公式中的圓來自于針的旋轉對稱。

歐拉恒等式

數學中最美麗的方程式當屬歐拉恒等式，1748年，萊昂哈德·歐拉提出了這個方程：

正如威廉·德納姆所說：

如果你想做加法，你需要0；如果你想做乘法，你需要1；；如果你想學微積分，你需要e；如果你想做幾何，你需要π；如果你想做複分析，你需要i。這些數字都出現在了歐拉恒等式中。

它表達了兩個對稱之間的有趣關系。當我們用一個複數z乘以e^(πi)，得到的數字是z沿着半徑為|z|的圓旋轉π弧度得到的數字。

歐拉恒等式表達了這樣一個事實：通過原點反射一個複數（即乘以-1）相當于将該數旋轉180度。

這個結果中的圓，源于與上面的複指數相乘時的半圓旋轉。

巴賽爾問題

讓歐拉名聲大噪的一個發現是下面這個令人驚訝的結果：

左邊的無窮級數是所有整數平方倒數的“和”。首先，歐拉回顧了正弦函數的麥克勞林級數展開式。正弦函數可以寫成幂級數。

然後除以x得到：

歐拉認為上面的左邊可以看成是一個無限多項式，我們都知道多項式可以被分解成線性因子的乘積形式

其中c是一個數字，上面分母中的r是多項式的根（也稱為零點）。任何多項式都可以寫成這樣的事實叫做代數基本定理，這是一個非常重要的定理。

歐拉認為這個定理也适用于一些“無限”多項式，如上面的幂級數。由于上述幂級數的常數項為1，顯然c = 1。我們現在有

歐拉問自己這個函數的零點是什麼。它們是正弦函數的零點，因此是π的整數倍。所以：

第二個等式來自于将相鄰項相乘。現在需要另一個絕妙的想法。歐拉意識到隐藏在上面的二次項分母中的平方數，并想把它們從乘積中“解放出來”。這聽起來很可怕，但是我們隻需要得到幂級數的前兩項。

顯然，常數項是1。第二項呢？對于相應的無窮幂級數中的每個系數，我們隻需要選擇一個非常數項然後從乘積中的其他項中選擇所有的1。然後，我們得到

歐拉把它和泰勒級數表達式做了比較。也就是說：

歐拉得出，右邊的兩個級數必須相等，也就是：

或：

再一次，我們可以解釋π是如何從正弦函數的零點來的，然而，如果真的想從幾何上理解這個問題，這并不是很令人滿意。

高斯積分

在統計學、數論和許多其他數學領域中，一個非常重要的積分結果是：

這真的很神奇。下面這個鐘形曲線下的面積是π的平方根。

有很多不同的方法來證明這一點。我最喜歡也是最優雅的方法是把笛卡爾坐标系換成極坐标。具體來說，令

現在我們計算I^2，并将其轉換為極坐标：

在上面的計算中，我們對最後一個積分做了替換：r^2= u => r dr = du/2。現在，因為我們知道I一定是一個正數，得到

那麼這個圓在哪呢？當我們計算I^2時，我們實際上計算了一個（三維）體積，也就是在一個具有旋轉對稱的二維表面下的體積。

得到的二重積分把無限多的圓面積“加起來”。把所有這些面積相加，得到的表達式不僅包含π，而且實際上等于π。

結論

看來，當π出現在一個公式中，我們可以通過某種隐藏在公式中的旋轉關系來解釋它。即使我們不能一眼看到它，但它肯定就在那裡。

關于π的讨論還可以有很多，例如為什麼用幾何方法解釋這類問題這麼難，而用代數和微積分就（相對）容易了呢？

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