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高一數學求函數的值域典型題

教育更新时间:2025-10-29 10:21:14

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高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）1

一、反函數法

利用函數和它的反函數的定義域與值域的關系，通過求反函數的定義域而得到原函數的值域。

例如求函數

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）2

的值域，這種類型的題目也可采用分離常數法。

★ 例1、求函數

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）3

的值域。

解析：由

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）3

解得

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因為

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，所以

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，則

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故函數

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）3

的值域為

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）10

。

二、換元法

換元法主要是把題目中出現多次的一個複雜的部分看作一個整體，通過簡單的換元把複雜函數變為簡單函數，我們使用換元法時，要特别注意換元後新元的範圍（即定義域）。換元法是幾種常用的數學方法之一，在求函數的值域中發揮很大作用。

★ 例2、若

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）11

，求函數

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）12

的值域。

解析：

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）13

因為

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）14

，則

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）15

于是

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）16

故

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）12

的值域是

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）18

。

三、分離常數法

求一次分式函數值域可用分離常數法，此類問題有時也可以利用反函數法。

★ 例3、求函數

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）19

的值域。

解析：

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因為

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，則

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）22

故函數

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）19

的值域為

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）24

。

四、判别式法

把函數轉化成關于x的二次方程

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）25

，通過方程有實數根，根據判别式

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）26

，從而求得原函數的值域

形如求函數

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）27

（

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、

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）29

不同時為0）的值域，常用此方法求解。

注意這類函數的定義域一般是實數集時用這種方法一般不會出錯，否則不宜用這種方法。

★ 例4、求函數

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）30

的值域。

解析：原式變形為

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）31

。

①當

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）32

時，方程無解；

②當

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）33

時，因為

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）34

所以

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）35

解得

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）36

。

綜合①②得，函數的值域為

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）37

。

五、函數的單調性法

确定函數在定義域（或某個定義域的子集）上的單調性，借助單調性求出函數的值域。

★ 例5、求函數

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）38

的值域。

解析：因為當x增大時，

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）39

随

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的增大而減少，

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随

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）40

的增大而增大，所以函數

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）38

在定義域

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上是增函數。

故

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，所以函數

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）38

的值域為

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）44

。

六、利用有界性

利用函數解析式中局部式子的有界性來求整個函數的值域也是常用的求值域的方法。

★ 例6、求函數

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）48

的值域。

解析：由函數的解析式可以知道函數的定義域為R

對函數進行變形可得

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）49

因為

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）50

，所以

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）51

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）52

則

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）53

，故

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）54

所以函數

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）48

的值域為

高一數學求函數的值域典型題（高中精華内容如下）56

。

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