大家好！本文和大家分享一道2008年江蘇高考數學真題。這道題是2008年江蘇高考數學試卷的填空壓軸題，考查的是利用導數求參數的值，題目很簡潔，但是難度卻不小，難住了很多同學。其實，這道題用兩種常見方法就能輕松搞定。

解法一：

要使f(x)=ax^3-3x 1在[-1,1]上都有f(x)≥0，那麼就可以轉化為f(x)在[-1,1]上的最小值都大于等于零。所以，接下來就需要求出函數f(x)在[-1,1]上的最小值。

當a=0時，f(x)=-3x 1，在[-1,1]上是減函數，所以其最小值為f(1)=-2，不成立。

當a＜0時，ax^3為減函數，-3x也為減函數，所以f(x)在[-1,1]為減函數，此時的最小值為f(1)=a-2≥0，解得a≥2，與a＜0矛盾。

當a＞0時，函數f(x)=ax^3-3x 1的導數為f'(x)=3ax^2-3=3(ax^2-1)。令f'(x)=0，解得x=±√a/a。接下來就需要讨論f'(xx)的正負，并确定函數f(x)的單調性。

若0＜a≤1，則1/a≥1，故f'(x)=3(ax^2-1)在[-1,1]上都是非正數，即f'(x)≤0，此時f(x)為減函數，所以其最小值為f(1)=a-2≥0，解得a≥2，矛盾。

若a＞1，則0＜1/a＜1，故-1＜-√a/a＜0，0＜√a/a＜1，所以在-1＜x＜-√a/a時，f'(x)＞0，此時f(x)為增函數；-√a/＜x＜√a/a時，f'(x)＜0，此時f(x)為減函數；√a/a＜x＜1時，f'(x)＞0，此時f(x)為增函數，所以當a＞1時，f(x)的最小值在f(-1)和f(√a/a)中取得，所以f(-1)和f(√a/a)都大于等于0，從而可以求出a的值。

解法二：

參變分離是求參數取值範圍的重要方法，本題也可以用參變分離的方法求解。

由f(x)=ax^3-3x 1≥0得：ax^3≥3x-1①。

當x=0時，上式恒成立；

當x＞0時，①式兩邊同時除以x^3，這樣就完成了參變分離過程。此時，①式要在(0,1]上恒成立，就意味着a大于等于右邊函數的最大值，所以通過導數求出右邊函數的最大值，從而得到a≥4。

當x＜0時，①式兩邊同時除以x^3，并且不等号反向，從而完成參變分離的過程。此時，①式在[-1,0)上恒成立，那麼a就小于等于右邊函數的最小值，從而得到a≤4。

綜上，得到a=4。

作為一道填空壓軸題來說，這題确實有一些難度，但是隻要基礎知識學得牢，做出來的難度也不是很大。你覺得呢？

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