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平面解析幾何與向量的關系

生活更新时间:2025-02-09 08:06:23

平面方程的建立

平面方程的建立有兩種基本思路：

已知一點P(x0, y0, z0)與該平面的法向量n{A, B, C}即可确定該平面。
已知平面I上的一個點P(x0, y0, z0)及與平面II平行的兩個不共線的向量a={a1, a2, a3}，b={b1, b2, b3}，則可确定平面II。

下面來看題，根據求解平面方程需要的條件來解題。

第一題：

平面解析幾何與向量的關系（向量代數與空間解析幾何）1

方法1：題目給了一個原點和兩條直線，且這兩條直線都平行于所求平面，所以使用思路2求解。

方法2：因為兩條已知直線都平行于所求平面，已經知道了這兩條直線的方向向量，那麼就可以将這兩個方向向量作個向量積，即可求出該垂直于這兩條直線的方向向量，即所求平面的法向量。這樣就可以運用思路1來建立平面方程了。

第二題：

平面解析幾何與向量的關系（向量代數與空間解析幾何）2

方法1:平面垂直于已知平面II，也就是說所求平面的法向量n垂直于平面II的法向量，其次，所求平面經過一條已知直線，那麼該平面的法向量n也垂直于這條直線。我們可以從題目中得到直線的方向向量和平面II的法向量，這兩個向量作個向量積，即可得到所求平面的法向量。可是還差一個點呀，仔細想想，該平面經過直線，是不是經過這個直線上的所有點呢？根據直線的對稱式方程，我們很容易發現這個點就是（1，-2，2）。

直線方程的建立

直線方程的建立有兩種基本思路：

已知直線L上的一個點P(x0, y0, z0)和直線L的方向向量s=(l, m, n)就可以确定直線L。
兩個不平行的平面相交于一直線。

下面看例題。

第一題：

平面解析幾何與向量的關系（向量代數與空間解析幾何）3

方法1：使用思路1即可求解。已知一個點了，且所求直線垂直于另外兩條直線，我們可以根據另外兩條直線的方向向量，作個向量積，即可得到所求直線的方向向量。

方法2：過點（-1，-4，3）分别作垂直于L1和L2的平面I和平面II，則平面I和平面II的交線為所求直線。

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