已知P(1,1)、Q(2,1)，求解以下有關問題。

(1)求線段PQ中點坐标P1。

(2)求線段PQ中間某點P2的坐标，使得1PP2=2P2Q。

(3)求線段PQ延長線上，且在Q點右邊的點P3坐标，使得PQ:QP3=1:2。

(4)計算PQ兩點的距離。

(5)求PQ所在直線的方程L1及直線的斜率k1，以及經過點P1垂直PQ的直線方程L2。

(6)求以P,Q兩點長軸為焦點，離心率e=1/2時的橢圓方程。

(7)求以P,Q兩點長軸為頂點，離心率e=1/2時的橢圓方程。

(8)求以P,Q兩點為實軸焦點，離心率e=3/2時的雙曲線方程。

(9)求以P,Q兩點為實軸頂點，離心率e=3/2時的雙曲線方程。

(10)求以P為焦點，Q為頂點的抛物線方程。

(1)求線段PQ中點坐标P1。

解：設中點P1的橫坐标為x0，縱坐标為y0，

根據題意，有：

x0=(1 2)/2=3/2;

y0=(1 1)/2=1.

即中點P1的坐标為P1(3/2, 1).

(2)求線段PQ中間某點P2的坐标，使得1PP2=2P2Q。

解：介紹兩種方法來求P2點坐标。

思路一：兩點間距離公式法。

設P2(x2,y2),由兩點間距離公式有：

|PP2|=√[(1-x2)^2 (1-y2)^2];

|P2Q|=√[(2-x2)^2 (1-y2)^2].

1^2[(1-x2)^2 (1-y2)^2]=2^2[(2-x2)^2 (1-y2)^2]

1-2x2 x2^2 1-2y2 y2^2=16-16x2 4x2^2 4-8y2 4y2^2

3x2^2 3y2^2-14x2-6y2 18=0.

又因為點P2和P,Q在一條直線上，P2P與PQ的斜率相等，則：

(y2-1)/(x2-1)=0,

即：y2-1=0

y2=1,代入距離關系式方程有：

3x2^2 3*1-14x2-6*1 18=0

化簡得：3x2^2-14x2 15=0,即：

(3x-5)(x-3)=0,由于1<x2<2,

求出x2=5/3，進一步代入求出y2=1.

思路二：定比分點法。

因為PP2/p2Q=2/1，所以定比分點λ1= 2.

則所求P2的橫坐标x2=(1 2λ1)/(1 λ1)

同理，坐标軸y2=(1 1λ1)/(1 λ1)。

即可求出x2=5/3，y2=1。

所以所求點的坐标P2(5/3，1).

(3)求線段PQ延長線上，且在Q點右邊的點P3坐标，使得PQ:QP3=1: 2。

解：用定比分點法求解。

因為PQ:QP3=1: 2，所以定比分點λ2=-3/2;

則所求P3的橫坐标x3=(1 2λ2)/(1 λ2)

同理，坐标軸y3=(1 1λ2)/(1 λ2)。

即可求出x3=4，y3=1。

所以所求點的坐标P2(4，1).

(4)計算P、Q兩點的距離。

解：根據兩點間距離公式有：

d=|PQ|=√[(1-2)^2 (1-1)^2]

=√(1 0)=1.

即P、Q兩點的距離為1。

(5) 求PQ所在直線的方程L1及直線的斜率k1，以及經過點P1垂直PQ的直線方程L2。

解：由P(1,1)、Q(2,1)知P,Q兩點所在直線的斜率k1為：

k1=(1-1)/(2-1)=0.

則P,Q的直線方程L1的方程為：

y-1=0，即y=1.

由題意知，直線L2的斜率k2不存在，

即可求出所求的直線L2的方程為：x=3/2。

(6)求以P,Q兩點為長軸焦點，離心率e=1/2時的橢圓方程。

解：根據題意設橢圓的半焦距為c，則有

2c=|PQ|=1；

即c=1/2，此時c^2=1/4;

又因為離心率e=1/2=c/a，則:

a=1，此時a^2=1;

此時b^2=a^2-c^2=1-1/4

=3/4,

故此時橢圓方程為：

(x-3/2)^2 (y-2/2)^2/(3/4)=1.

(7)求以P,Q兩點為長軸頂點，離心率e=1/2時的橢圓方程。

解：根據題意設橢圓的半焦距為c，長半軸為a，則有：

2a=|PQ|=1，此時a=1/2，

進一步得a^2=1/4.

由離心率e=1/2=c/a,則：

c=1/4，此時c^2=16;

由b^2=a^2-c^2=1/4-1/16

=3/16，

故此時橢圓方程為：

(x-3/2)^2/(1/4) (y-2/2)^2/(3/16)=1.

(8)求以P,Q兩點為實軸焦點，離心率e=3/2時的雙曲線方程。

解：根據題意設雙曲線的半焦距為c，則有

2c=|PQ|=1，

即c=1/2，此時c^2=1/4;

由離心率e=3/2=c/a,則：

a=1/3，此時a^2=1/9;

由a^2 b^2=c^2得：

b^2=c^2-a^2=1/4-1/9

=5/36,

故此時雙曲線的方程為：

(x-3/2)^2/(1/9)-(y-2/2)^2/(5/36)=1.

(9)求以P,Q兩點為實軸頂點，離心率e=3/2時的雙曲線方程。

解：根據題意設雙曲線的半焦距為c，長半軸為a，則有：

2a=|PQ|=1，此時a=1/2，

進一步得a^2=1/4.

由離心率e=3/2=c/a,則：

c=3/4，此時c^2=9/16;

由a^2 b^2=c^2得：

b^2=c^2-a^2=9/16-1/4,

=5/16，

故此時雙曲線方程為：

(x-3/2)^2/(1/4)-(y-2/2)^2/(5/16)=1.

(10)求以P為焦點，Q為頂點的抛物線方程。

解：以P(1, 1)為頂點，Q(2, 1)為頂點則有：

p/2=|PQ|=1,

則2p=4,此時抛物線的方程為：

(y-1)^2=-4 (x-2)。

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