一、二次函數的定義和表達形式

1、定義：

一般地，我們把函數表達式可以化簡成y=ax^2 bx c(a≠0且a、b、c為常數）這樣的形式的函數叫做二次函數。

例如：y=x^2 2x-1、y=(x-2)^2-1、y=(x-2)(x-1)等等。

2、表達形式：

①一般式：y=ax^2 bx c(a≠0且a、b、c為常數）

②頂點式：y=a（x-m）^2 n(a≠0且a、m、n為常數）

③交點式：y=a(x-e)(x-f)(a≠0且a、e、f為常數）

【說明：隻要二次函數圖象與x軸有交點，即，一元二次方程ax^2 bx c=0(a≠0且a、b、c為常數）有根，都能化成這樣的形式】

二、二次函數的圖象

1、觀察二次函數的圖象：（像這樣的函數曲線叫做抛物線，它的對稱軸與它的交點叫做頂點。我們一般采用描點作圖法，具體步驟如下：就是找到幾個相對于簡單的點，橫坐标對縱坐标，并在平面直角坐标系内畫出點，最後用光滑的曲線連接。）

我們可以發現：

①二次函數y=ax^2 bx c(a≠0且a、b、c為常數）的圖象是一條抛物線，它的對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐标（-b/2a，4ac-b^2/4a），當x=-b/2a時，y最小/最大=4ac-b^2/4a。

②它的自變量x的取值範圍是x為全體實數，函數值y的取值範圍是y≥4ac-b^2/4a或者y≤4ac-b^2/4a（視具體情況而定）。

③當a＞0時，抛物線的開口向上，頂點是抛物線的最低點；當a＜0時，抛物線的開口向下，頂點是抛物線的最高點。

④它與x軸的交點有三種情況：

（1）△=b^2-4ac=0，它與x軸僅有一個交點，坐标為（4ac-b^2/4a，0）。

（2）△=b^2-4ac＞0，它與x軸有兩個交點，兩根和為-b/a,兩根積為c/a，兩交點的距離為√△/|a|，證明如下：設兩交點為（x1,0）、（x2,0）。

(x1 x2）^2=b^2/a^2,x1∙x2=c/a，|x1-x2|=√（x1-x2）^2=√b^2/a^2-4c/a=√△/|a|。

（3）△=b^2-4ac＜0，它與x軸沒有交點，函數值y恒大于0或者恒小于0。

⑤當|a|越大，抛物線的開口越小；當|a|越小，抛物線的開口越大。

三、二次函數的性質和平移

1、函數的性質：

①二次函數y=ax^2 bx c(a＞0且a、b、c為常數），當x≤-b/2a時，y随着x的增大而減小；當x≥-b/2a時，y随着x的增大而增大。

②二次函數y=ax^2 bx c(a＜0且a、b、c為常數），當x≤-b/2a時，y随着x的增大而增大；當x≥-b/2a時，y随着x的增大而減小。

2、函數的平移：

左右平移：（左加右減） 上下平移：（上加下減）

設二次函數y=a（x-m）^2 n(a、m、n≠0且a、m、n為常數），

它可以是由二次函數y=ax^2（a≠0且a為常數）向左平移（m＜0）或者向右（m＞0）|m|個單位，在向上平移n(n＞0）或者向下（n＜0）|n|個單位。

四、利用二次函數解決問題

注意：審清題意，明确目的，知曉本質。運用二次函數圖象求實際問題時，先考慮自變量x的取值範圍、函數值y的範圍與實際所表示的意義，再來具體情況具體分析。

美妙的函數

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