在之前的翻譯專欄的文章中（不确定原理為啥不确定啊？又被傅裡葉懂完了），我們給大家介紹了不确定原理與傅裡葉變換之間的關系，今天再詳細地給大家介紹一下量子力學中的不确定性原理吧。

不确定性原理非常直觀地體現了量子力學和經典力學之間的差異，而且表述還非常簡單。它既不像薛定谔方程那樣需要微積分和分析力學的基礎，也不像算符、矩陣那樣需要線性代數的基礎，基本上誰都能談幾句。但是，要想真正理解不确定性原理，就遠沒有看上去的那麼簡單了。

這種情況跟狹義相對論裡的質能方程E=mc²很像，質能方程也是咋一看非常簡單，似乎誰都能談幾句。但是，如果想真正理解質能方程，就必須深入狹義相對論語境，如果隻是站在牛頓力學的角度，直接從字面意思來理解質能方程，那不可避免地就會帶來各種誤解。

不确定性原理是量子力學的産物，我們也隻有深入量子語境才能真正理解它，如果隻是從牛頓力學的視角，單從字面意思去理解它，一樣會産生各種稀奇古怪的誤解。

01常見的誤解

不确定性原理的一個常見表述是“我們無法同時确定粒子的位置和動量”，有的地方還喜歡把“确定”替換為“測準”，說“我們無法同時測準粒子的位置和動量，你把粒子的位置測得越準，它的動量就越不準确，反之亦然”。

這就很容易讓人這樣理解不确定性原理：為什麼我們無法同時測準位置和動量呢？因為如果這裡有一個電子，你想測量它的位置就得用光子或者其它粒子去撞擊它。你想把電子的位置測得越準就得使用波長越短的光（波長太長就直接繞過去了），而光的波長越短能量就越高，你用越高能量的光子去撞擊電子，就會把電子撞飛得越快，這樣電子的動量就更加不确定了。

于是，你覺得越想測準電子的位置，就會對它的動量産生越大的幹擾，進而讓它的動量更加不确定，反之也一樣。許多人認為這就是無法同時确定電子的位置和動量的原因，并認為這就是不确定性原理想說的。

這種說法很流行，很多科普文都這樣介紹不确定性原理，他們告訴你：正是因為你用光子測量電子位置的操作幹擾了電子的動量，所以無法同時确定電子的位置和動量。

為什麼這種說法會很流行呢？

第一，它看起來好像也沒啥問題，而且通俗易懂，中學生都能理解；第二，不确定性原理的發現者——海森堡一開始也是這麼理解的。也就是說，海森堡在一開始也認為是測量過程中不可避免的幹擾導緻了我們無法同時确定粒子的位置和動量。

許多量子力學的科普文其實都是在講量子力學前25年的曆史，既然是講曆史，那到了不确定性原理這裡，自然就要講一講海森堡那些通俗易懂的思想實驗。但是，如果你順着曆史再往後走幾步，就會發現玻爾很快就批評了海森堡的這種思想，而海森堡自己也接受了。

也就是說，海森堡也隻是在一開始是這樣想的，他也隻是在剛發現不确定性原理的時候覺得電子動量的不确定性是由于“測量電子位置帶來的幹擾”導緻的，玻爾的批評很快就讓他意識到這麼想是不對的。

時至今日，随便翻開一本量子力學教材，裡面大概率都會清清楚楚地告訴你：不确定性原理并不是由于測量導緻的，它是粒子的固有性質，并不依賴于任何測量。

其實，測量是儀器和被測物體之間的一種相互作用，儀器在測量過程中肯定會對被測物體産生一定幹擾，這在任何情況下都存在，并非量子力學特有的。這種儀器對被測物體的影響，在物理學上有另一個名字，叫觀察者效應（Observer effect），它跟不确定性原理（Uncertainty principle）有本質的區别。

在經典力學裡，物體的位置和動量在理論上是确定的，但測量過程多多少少會對被測物體産生一定影響，所以實際的測量總會存在一定誤差。

但量子力學卻是在理論上就認為物體在一般情況下不存在确定的位置和動量，而且無論處于什麼狀态（本征态也好，疊加态也好），你都沒法同時确定物體的位置和動量。這跟測量的精度或者測量過程産生的擾動都無關，而這，才是不确定性原理想告訴我們的。

也就是說，對不确定性原理那種廣為流傳的解釋其實是錯的。他們把不确定性原理當成了觀察者效應，認為是測量過程中的擾動造成了我們無法同時測準粒子的位置和動量，而沒有意識到這種不确定性是理論上的，是粒子的固有性質，跟你測不測量無關。

那麼，這種理論上的不确定性是怎麼來的呢？

02力學量的平均值

我們都知道，經典力學裡的力學量在任何時候都有确定值，一個物體在任何時候都有确定的位置和速度，跟你測不測量，如何測量都無關。

但到了量子力學，力學量是否有确定取值卻跟系統狀态有關：如果系統處于本征态，那測量這個力學量時就有确定值；如果系統處于疊加态，那測量這個力學量時就沒有确定值。因此，如果你裡想讨論力學量的取值，就得先确定系統的狀态，看看它是本征态還是疊加态。

以位置為例，如果電子處于位置本征态，那測量位置時就有确定值（該本征态對應的本征值）；如果電子處于位置疊加态，那測量位置時就沒有确定值，而是有一定概率處于各個位置本征态對應的本征值。

然後，有一點我們要特别注意：當系統狀态确定以後，雖然電子的位置在一般情況下不确定，但它的平均值卻是确定的。

比如，電子處于某個位置疊加态，測量時有70%的概率處于x=1處，有30%的概率處于x=2處，雖然我們不知道測量結果到底會是x=1還是x=2，但我們知道電子的位置平均值一定是x=1×0.7 2×0.3=1.3。

這就是說，隻要系統狀态确定了（不管是本征态還是疊加态），雖然力學量的具體取值一般不确定，但它的概率分布卻确定了，任意力學量的平均值也就随之确定了。平均值是個非常重要的概念，從這裡我們也能看到量子力學的統計性質。

提到平均值，大家都非常熟悉。學校舉行考試時，如果想對比兩個班級的成績，我們最常見的做法就是計算兩個班級的平均分。計算方法也很簡單，把一個班裡所有人的成績都加起來，再除以總人數就得到了這個班級的平均分。如果一班的平均分比二班高，那我們大體上就認為一班比二班考得好。

當然，平均分很有用，但它的局限性也很大。特别是，當一個樣本的數據波動過大時，平均值往往就很難反映真實情況了。就像大家經常調侃的，如果把我的收入跟馬雲、馬化騰平均一下，那大家也都是身價百億的人了，這樣的平均顯然沒什麼意義。

同理，如果二班的平均分要低一些，但我們仔細一看，卻發現二班有大量同學考了95分以上，但因為某些原因也有些人隻考了幾分，甚至0分，這少數超低分就把班級的平均分拉了下來。而一班絕大多數人都考了70多分，既沒有考得很高的，也沒有考得特别低的。這樣一算平均分，一班确實比二班高了一點，但你覺得這種情況下還僅憑平均分來判斷兩個班的成績，還合适麼？

為什麼平均分在這種情況下好像并不好用了呢？原因很簡單，因為二班的成績波動太大了，接近滿分和接近0分的人都有很多，而平均分會把這些波動給抹掉。因此，如果我們想更好地描述二班的情況，那就得想辦法描述這種波動，如何描述呢？

這時候，我們就要引入兩個新的量：方差和标準差。

03方差和标準差

方差是怎樣體現班級的成績波動的呢？

思路也很簡單，一班的分數大多在70到80分之間，假設它們的平均分是75分吧。當我們說一班的成績波動很小時，我們其實是在說一班的大部分成績都在75這個平均分附近，它們相對平均分的波動很小。當我們說二班的成績波動很大時，也是在說二班的大部分成績距離它們的平均分（假設是74分）比較遠，大家相對平均分的波動很大。

所以，如果想計算一個班級的整體波動，那你就先把這個班級的平均分算出來，再把每個人相對平均分的波動算出來，最後把所有波動加起來再除以總人數，這樣得到的結果就能大緻反映一個班級的整體波動了，這也是計算方差的大緻思想。

比如，一班的平均分是75分，有個同學考了70分，跟平均分差5分；有個同學考了80分，跟平均分也差了5分。我們把所有人跟75這個平均分的差值都算出來，把它們加起來再除以總人數，得到的結果就能大緻反映一班成績的波動情況了。

但大家很快就會注意到：直接用每個人的分數減去平均分的差來度量這個波動是不行的。因為考了80分的同學減去平均分75等于5，考了70分的同學減去平均分75等于-5，你把它們直接加起來，那總的波動就是5 （-5）=0了，這肯定不對。

要解決這個問題，很多人的第一反應是給它套個絕對值。沒錯，套了絕對值以後，負數就變成了正數（|5| |-5|=5 5=10），這樣就不會再出現“正負相消”的情況了。這樣處理在理論上沒啥問題，但絕對值在具體計算時會比較麻煩，為了方便計算，我們采用了另一種方式：給它套個平方。

大家知道，負數的平方也是正數，這樣它也能達到絕對值的效果，但計算起來會更方便。

比如，對于考了70分的同學，我們用70減去平均分75，再套個平方（70-75）²=25來表示這個波動；對于考了80分的同學，我們就用（80-75）²=25來表示這個波動，其他人以此類推。把所有人相對平均分的差的平方都加起來，再除以總人數就得到了衡量班級整體波動水平的方差。

有了方差，我們就能看清各個班級的波動情況了，也能清楚地看到二班的成績波動确實比一班大。

一班的平均分是75分，大量考了70分的同學産生的波動隻有（70-75）²=25；假設二班的平均分是74分，那考了100分的同學立馬就會産生（100-74）²=676的波動，考了0分的同學更是以一己之力就能貢獻（0-74）²=5476的波動值。閉着眼睛都知道，二班的方差肯定會遠遠大于一班，這也反映了二班成績的波動遠遠大于一班。

所以，通過方差，我們确實能夠判斷樣本的波動情況。不過，從上面的例子大家也能看到，方差雖然好用，但它的數值還是有點偏大（考了0分的同學對應的值竟然高達5476，這讓我們很難直觀地作判斷）。為了方便判斷，我們對方差再開個根号（方差是9，标準差就為3），這樣就得到了标準差（一般用σ來表示），後面我們使用的也都是标準差σ。

平均值、方差和标準差都是概率統計裡最基礎的東西，大家在中學數學裡也學過了，這裡我就不再細說了。在這裡，我們隻要知道方差和标準差可以衡量一個樣本的波動情況，方差、标準差大，就說明它們偏離平均水平越厲害就行了。

04不确定性原理

好，再回到主題。我們剛剛不是在講不确定性原理的麼，為什麼這裡突然講起了方差和标準差？

那是因為，大家經常看到的不确定性原理的表達式ΔxΔp≥ℏ/2（ℏ=h/2π），這裡的Δx和Δp指的就是标準差，而不是大家先入為主地以為的測量誤差。

什麼意思？

意思就是，你經常看到的不确定性原理ΔxΔp≥ℏ/2，它說的是位置x和動量p的标準差的乘積最小隻能為ℏ/2，它說的是統計意義上的标準差的乘積不能無限小，而不是說測量時的幹擾誤差。

很多人一看到Δx，潛意識裡就會認為這是一個微小的位置變化。到了不确定性原理ΔxΔp≥ℏ/2這裡，就很容易把Δx當成測量位置時由于幹擾帶來的誤差，這樣就很容易陷入一開始說的那種對不确定性原理的錯誤理解中去，讓我們誤以為粒子的不确定性是由測量的擾動引起的。

如果這裡不是用的Δx和Δp，而是σx和σp，那不确定性原理是不是就沒那麼容易引起誤解了呢？

在很多書裡，位置-動量不确定關系确實寫作σxσp≥ℏ/2 (ℏ=h/2π)，這裡的σx、σp并不是測量位置、動量時的幹擾誤差，而是從統計意義上來說的位置和動量的标準差。

那問題就來了：一個粒子的位置和動量，怎麼會有統計意義上的标準差呢？

在經典力學裡，這個概念當然是毫無意義的。經典力學的粒子在任何時候都有确定的位置和動量，它們沒有任何波動，談論單個粒子的位置和動量在統計意義上的平均值和标準差也顯得相當搞笑。

但到了量子力學，情況就完全不一樣了。在量子力學裡，隻有當系統處于位置本征态時，粒子的位置才是确定的；當系統處于位置疊加态時，粒子的位置就是不确定的。測量時有一定的概率處于這個位置，有一定的概率處于那個位置，我們還能算出具體的概率值。

當粒子有一定概率在這，也有一定概率在那時，我們不就可以計算粒子的位置平均值了麼（假設有許多跟它一模一樣的粒子，我們一個個去測量，再統計它們的平均值）？有了平均值，每個可能的位置相對平均值的波動也能算出來，于是，我們就能計算出粒子的位置标準差σx，動量标準差σp也一樣。

這樣一來，我們就能從統計意義上談單個粒子的各種力學量的平均值、方差和标準差了，因為粒子的力學量在一般狀态下并沒有确定值。

再回到前面的例子，我們假設電子處于某個位置疊加态，測量時有70%的概率處于x=1處，有30%的概率處于x=2處。雖然我們不知道測量時電子到底會在x=1還是x=2處，但我們還知道它的平均值一定是x=1×0.7 2×0.3=1.3。

而且，我們知道這個平均值跟你測不測量無關，隻要系統狀态确定了，概率分布确定了（70%的概率x=1，30%的概率x=2），我們就能在測量之前把平均值x=1.3算出來。算出了位置平均值，我們一樣可以仿照班級考試的例子，算出電子在這個狀态下位置的标準差σx，并用它來衡量電子位置的波動情況。

因為這個σx也是在測量之前算出來的，所以我們不需要等測量結束，也不需要知道測量過程中到底有多大擾動就能算出電子的位置标準差σx，它跟你測不測量完全無關。

假如粒子處在狀态一的時候，它有50%的概率處于x=4.9處，有50%的概率處于x=5.1處，此時的平均值為x=5；粒子處于狀态二的時候，它有50%的概率處于x=1處，有50%的概率處于x=9處，此時的平均值還是x=5。這兩個狀态下粒子的位置平均值都一樣，但我們閉着眼睛都知道狀态二的波動更大，所以它的位置标準差σx也更大。類似的，我們也能算出粒子在各個狀态下的動量标準差σp。

也就是說，隻要系統狀态确定了，不管你有沒有測量，我們都能算出粒子的位置和動量的标準差σx、σp。那麼，這個σx和σp有沒有什麼關系呢？

經過一番數學推導，我們發現粒子在不同狀态下雖然會有不同的位置标準差σx和動量标準差σp，但不論系統狀态如何變化，也不論σx和σp跟着如何變化，它們的乘積σxσp都不可能小于ℏ/2。這就是大家最為熟知的位置和動量的不确定關系σxσp≥ℏ/2。

這個推導過程我們後面再說，在這裡，我們起碼能清晰地看到：粒子的位置平均值是在測量之前就能算出來的，位置和動量的标準差σx、σp也是在測量之前就能算出來的，所以，經過數學推導得到的位置-動量不确定關系σxσp≥ℏ/2也是在測量之前就能得到的。

如果我們在測量之前就能得到這個關系式σxσp≥ℏ/2，那你還能說不确定性原理是由于測量的擾動引起的麼？你都還沒有開始測量，那還談什麼測量帶來的幹擾誤差？

這樣的話，大家能理解為什麼我們之前一直說“不确定性原理并不是由于測量造成的，它是粒子的固有性質，跟你測不測量無關”了麼？

05一般的不确定關系

大的基調定下來之後，我們再來看看具體的推導過程。

在這裡，我們先不盯着位置和動量，而是先考慮更一般的情況。假設有兩個任意的力學量A和B，系統狀态确定以後，概率分布就确定了，我們就能算出力學量A、B的平均值，進而算出這兩個力學量的标準差σA和σB。

那麼，不同力學量的标準差之間又有什麼關系呢？

利用施瓦茨不等式，經過一番純數學推導，我們就得到了這樣一個關系式：

具體的推導過程比較無趣，我這裡就不寫了，感興趣的可以自己去翻一翻量子力學教材。但大家要清楚，我們這裡沒有引入任何額外的假設，我們隻是用了标準差的基本定義，然後利用施瓦茨不等式就得到了上面的不等式。所以，這是一個普适的關系式，是最一般的不确定關系。

它告訴我們：任意兩個力學量的标準差的乘積σAσB必須大于等于這兩個力學量的對易式[A,B]的平均值（<>代表求平均值）的絕對值的一半。

說起來有點拗口，但平均值和絕對值大家都很熟悉，這裡真正起決定作用的是A、B的對易式[A,B]，隻要對易式确定了，這個不等式就确定了。而算符A、B的對易式是這樣定義的：[A,B]=AB-BA，也就是把兩個算符的作用順序交換一下，再相減。

很多人看到這個對易式之後心裡就在犯嘀咕：AB-BA不應該恒等于0麼？就像3×5-5×3=0一樣，任何兩個數交換相乘的順序，得到的乘積應該都一樣，它們相減之後的結果肯定就是0啊。

如果[A,B]恒等于0，那你定義這個又有什麼意義？

沒錯，我們從小就學了乘法的交換律：如果A、B都是數，兩個數交換順序，最後的乘積肯定不變。所以AB一定等于BA，[A,B]=AB-BA就一定恒等于0。

但是，我們這裡的A、B并不是數啊，它們是描述力學量的算符。我們确實從小就學了數的乘法交換律，但你有學過算符的乘法交換律麼？

沒有吧！也不可能學過，因為算符之間壓根就沒有普适的乘法交換律。有的算符之間可以交換乘法順序，有的則不能，這跟數的情況完全不一樣。

那麼，算符的乘法是什麼意思呢？兩個算符之間可以交換乘法順序又是什麼意思？

06對易式

在量子力學裡我們描述的系統狀态可以用矢量來理解，用算符描述力學量。算符可以作用在一個矢量上，把一個矢量變成另一個矢量。比如，我們對一個矢量進行平移、旋轉、投影操作，就會對應有平移算符、旋轉算符、投影算符。我們把平移算符作用在一個矢量上，就會把一個矢量平移到另一個地方，其它算符也類似。

在A、B的對易式[A,B]=AB-BA裡，A、B都是算符，而系統狀态ψ是矢量，所以我們就可以把算符B作用在态矢量ψ上，這樣就得到了新的矢量Bψ。而Bψ也是一個矢量，那我們又可以把算符A作用在矢量Bψ上，這樣得到的新矢量就是ABψ。

也就是說，算符是從右往左依次作用在矢量上的，ABψ就代表态矢量ψ先被算符B作用了一次，然後又被算符A作用了一次。如果A代表平移算符，B代表旋轉算符，那ABψ就代表先把态矢量ψ旋轉（B）了一下，再把這個矢量平移（A）了一下；而BAψ就代表先把态矢量ψ平移（Ａ）了一下，再把這個矢量旋轉（Ｂ）了一下。

這樣一來，算符Ａ、B的對易式[A,B]=AB-BA就很好理解了：因為A、B都是算符，AB和BA表示兩個算符的連續作用，那就還是一個算符，所以它們相減的結果AB-BA仍然是一個算符。

既然是算符，那我們自然就可以把算符[A,B]作用在矢量ψ上，這就相當于一方面先用算符B後用算符A作用在矢量ψ上（得到了ABψ），另一方面先用算符A後用算符B作用在矢量ψ上（得到了BAψ），最後再把這兩種方式得到的矢量相減ABψ-BAψ。

如果先A後B作用在矢量ψ上，與先B後A作用在矢量ψ得到的結果是完全一樣的，也就是說[A,B]ψ=ABψ-BAψ=0，那就說明算符A、B之間的乘法是可以交換順序的，這時候我們說算符A和算符B是對易的。比如，同一平面内兩個旋轉算符就是對易的，你想想，把一個矢量先旋轉一定角度α，再旋轉一定的角度β，跟你先把矢量旋轉一定的角度β，再旋轉一定角度α得到的結果是不是一樣的？

當然，并不是所有的ABψ-BAψ都等于0。當[A,B]≠0的時候，那就說明算符A、B之間的乘法順序不可交換，我們就說算符A和算符B不對易。比如，平移算符和空間反射算符就不對易，你想想，把一個矢量先向右平移一段，再以原點為中心翻轉一下，跟你先把矢量翻轉一下，再向右平移的結果一樣麼？

再比如，同樣一本書，你先圍繞x軸旋轉，再圍繞y軸旋轉，得到的結果跟你先圍繞y軸旋轉，再圍繞x軸旋轉的結果還一樣麼？

這些例子都非常簡單，大家仔細琢磨一下，就會發現兩個算符之間對易或者不對易都是有可能的。

07對易的力學量

理解了算符乘法和數乘之間的不一樣之後，我們再回頭看看那個最一般的不确定關系：

如果力學量A和力學量B對應的算符是對易的，也就是說[A,B]=0，那不等式的右邊就變成了0。于是，這個不等式就變成了“力學量A和B的标準差的乘積σAσB≥0”。

有人說這不是廢話麼？标準差σ肯定是大于等于0的啊！我們在求方差的時候就是先套了個平方，确保所有的數都非負，标準差不過是對方差再開個根号，那結果肯定還是非負啊。所以，當力學量A、B對應的算符對易時，這個式子相當于在說“它們标準差的乘積大于等于0”，這是一句廢話。

話不能這麼說，當力學量A、B對易，也就是[A,B]=0的時候，最一般的不确定關系給出的限制是σAσB≥0。雖然标準差确實都大于等于0，但如果不确定關系給出的限制是σ≥0，這起碼說明σ可以取0。因為如果限制是σ≥3，那σ就不能取0、1、2了。

所以，如果力學量A、B對易，最一般的不确定關系給出了限制σAσB≥0，這起碼說明：它允許力學量A、B的标準差同時為0，也就是允許σA=σB=0。

那麼，允許力學量A、B 的标準差同時為0，這又意味着什麼呢？

前面我們講過了，标準差是反映樣本的波動情況的。在量子力學裡，如果系統狀态ψ确定了，概率分布也就随之确定了，我們就可以算出這個狀态下任意力學量的平均值，進而求出它們的标準差σ。我們還知道标準差是非負的，這就意味着力學量可以取的值隻要有一個不等于平均值，它就會讓力學量的标準差σ＞0。

比如，還是假設粒子有70%的概率位于x=1處，有30%的概率位于x=2處，在這個狀态裡，粒子的位置平均值x=1×0.7 2×0.3=1.3。又因為粒子可以取的兩個值x=1和x=2都不等于平均值1.3，那它們在計算方差時肯定會産生大于零的（1-1.3）²=0.09和（2-1.3）²=0.49，最終的方差和标準差都大于0。

如果你想讓這個粒子的位置标準差σx=0，那就必須讓粒子所有可能取的位置都等于它的平均值。因為隻有這樣，每個位置減去平均值的結果才是0，一堆0加起來還是0，于是标準差才能為0。

那麼，“粒子所有可以取的位置都等于平均值”又意味着什麼呢？我們知道，系統狀态确定後，平均值就是一個定值。你想讓粒子所有可以取的值都等于這個平均值這個定值，那就隻能讓粒子的位置隻能這取一個值，并且就等于它的平均值。

那麼，粒子的位置在什麼情況下隻能取一個值呢？這個答案我們就非常熟悉了：當粒子處于位置本征态的時候！

繞了一圈，我們發現如果想讓粒子的位置标準差σx=0，那就必須讓粒子處于位置本征态，這樣我們就在标準差和系統狀态之間搭起了一座橋梁。

其實，隻要稍微想一下，你就會覺得這是非常自然的事情：當電子處于位置本征态時，它的位置就隻能取這一個值，那自然就沒有波動，标準差σx也為0；當電子處于位置疊加态時，它的位置可以取多個值，那平均值自然就不可能再跟所有的值一樣，這樣就有了波動，标準差σx也不再為0。

總而言之，我們發現如果兩個力學量A、B對易，那最一般的不對易關系就變成了σAσB≥0，它允許A、B的标準差同時為0。而标準差為0就意味着系統必須處于該力學量的本征态，如果σA=σB=0，那就意味着粒子必須處于力學量A的本征态，同時也必須處于力學量B的本征态。

換句話說，如果力學量A、B對易，那它們就可以擁有共同的本征态。當系統處于它們的共同本征态時，力學量A、B的标準差σA和σB同時等于0，而這個結果并不違反σAσB≥0。

08不對易力學量

如果力學量A、B不對易，那情況就完全不一樣了。

位置和動量就是一對不對易的力學量。為什麼位置和動量不對易呢？我們可以來算一下。

在量子力學中，動量算符p在位置表象下可以寫成-iℏ∂/∂x，位置在它本身的表象裡自然就是x。我們想看看它們對不對易，那把它們代入對易關系[x,p]=xp-px算一算就行了。

如果[x,p]=0，那就說明位置和動量對易；如果[x,p]≠0，那就說明位置和動量不對易。

算符可以作用在矢量和函數上，把它變成另一個矢量和函數。既然位置算符x和動量算符p都是算符，它們的對易關系[x,p]=xp-px也是算符，那我們就讓[x,p]作用在函數f(x)上：

計算過程都非常簡單，因為[x,p]是作用在一元函數f(x)身上，因此動量算符裡的偏導數∂/∂x就可以直接改成d/dx，我們在分子分母上同時乘以一個虛數單位i，就成了上面的樣子。

計算的第一步就是把[x,p]f(x)展開為xpf(x)-pxf(x)，再把動量算符代入進去。xpf(x)表示我們先用動量算符p作用在函數f(x)上，再用位置算符x去作用；pxf(x)隻是調換了下順序，表示先用位置算符x作用在函數f(x)上，再用動量算符p去作用。

第二步就是套了一個乘積的求導公式，然後發現前兩項可以消去，最後就得到了結果iℏf(x)。

從這個結果我們可以看到：[x,p]f(x)并不等于0，而是等于iℏf(x)。我們把f(x)都去掉，就得到了位置算符x和動量算符p的對易關系：

因為[x,p]≠0，所以位置和動量不對易。這個式子非常重要，它被稱為正則對易關系。

在經典力學裡，任何力學量都可以寫成位置x和動量p的函數，所以，量子力學裡任何有經典對應的力學量之間的對易關系，都可以從位置-動量這個最基本的正則對易關系裡導出來。

從更深的意義上來說，量子力學裡各種神奇的特性最終都可以追溯到這個最基本的對易關系上來。因此，有的教材是把正則對易關系[x,p]=iℏ當作基本假設提出來的。

大家再看看下這個對易式[x,p]=xp-px=iℏ，它告訴我們：對于同一個函數f(x)，先用動量算符p作用再用位置算符x作用的結果xpf(x)，跟先用位置算符x作用再用動量算符p作用的結果pxf(x)竟然不一樣，它們的差并不等于0，而是等于iℏf(x)。

09位置-動量不确定關系

有了位置算符x和動量算符p之間的對易關系[x,p]=iℏ，我們把它代入最一般的不确定關系：

立馬就能得到位置算符x和動量算符p的不确定關系（ℏ=h/2π）：

這就是位置和動量之間的不确定性關系，也是大家最常見的不确定性原理。

隻不過，大家平常看到的大多是用ΔxΔp來表述的，我們這裡用了更加不容易引起誤解的标準差σxσp，這樣大家一看就知道我們這是從統計意義上來說不确定性原理了。

位置-動量不确定關系告訴我們：位置算符x和動量算符p的标準差的乘積σxσp有一個最小值ℏ/2，它不能無限小，更不能等于0。因此，σx和σp不能同時為0。

而我們又知道，隻有當系統處于力學量的本征态時，對應力學量的标準差σ才為0。你現在說σx和σp不能同時為0，那就意味着系統不能同時處于位置和動量的本征态。否則，位置的标準差σx=0，動量的标準差σp=0，這就違背了它們之間的不确定關系σxσp≥ℏ/2。

因此，當我們測量一個粒子的位置時，系統會從原來的狀态變成某個位置本征态。當系統處于位置本征态時，粒子的位置就隻可能取一個值，位置的标準差σx=0，此時動量的标準差σp就變成了無窮大（這裡0和無窮大相乘并不等于0，這裡不細談）。看上去就是位置和動量之間會相互影響，這樣它們的标準差σx、σp才不會同時為0。

這樣的話，兩個力學量是否對易，就決定了它們的标準差能否同時為0，進而決定了它們能否擁有共同的本征态，決定了它們是否獨立。大家要好好理一理這一串邏輯鍊條，它對理解量子力學是很有幫助的。

明白了這些，再想想一開始的問題，你還會覺得位置和動量的這種不确定關系是由于測量時的擾動造成的麼？我們沒有測量時，系統狀态随着薛定谔方程演化，位置和動量的标準差σx、σp也會随之變化，但不論σx和σp怎麼變，它們之間都遵守σxσp≥ℏ/2。

所以，即便你沒有測量，位置和動量的不确定關系σxσp≥ℏ/2一樣存在。造成這種現象的根源，是位置算符和動量算符之間的不對易[x,p]=iℏ，而不是你測量時有沒有擾動。

10傅裡葉變換

為了讓大家更好地理解這種不對易關系，我們再來看一個更加形象的例子。

假如這裡有一頭大象，從前面看，你能非常清楚地看到大象的眼睛，但卻看不清楚大象的身體；從側面看，你能非常清楚地看到大象牆壁般的身體，但大象的眼睛我們又看不清楚了。當然，你還可以更換角度，從不同角度看，大象的眼睛和身體的清晰度會不一樣，但你找不到一個角度讓你既能看清楚大象的眼睛，又能看清楚大象的身體。

這跟位置和動量的不确定關系就有點像了：我們可以找到一個角度“看清”粒子的位置，讓測量時粒子的位置有确定值，這時候位置的标準差σx最小（位置本征态）；也可以找一個角度“看清”粒子的動量，讓測量時粒子的動量有确定值，這時候動量的标準差σp最小（動量本征态）。但是，你找不到一個角度能同時“看清”粒子的位置和動量，讓位置的标準差σx和動量的标準差σp同時達到最小值（無法同時處于位置和動量的本征态），它們之間有σxσp≥ℏ/2這樣一個繞不過去的門檻。

這樣一來，我們更能清晰地看到：我們之所以無法同時看清楚大象的眼睛和身體，并不是因為測量儀器不夠精确，也不是因為測量時有什麼擾動。而是因為大象的眼睛和身體一個在正面，一個在側面，大象的身體結構決定了我們無法同時看清楚這兩者，這是大象的“固有性質”，跟你測不測量無關。

同理，我們無法同時确定粒子的位置和動量，也不是因為測量儀器不夠準确，不是因為測量時有什麼擾動。而是因為粒子的位置和動量是不對易的，是位置和動量的這種關系[x,p]=iℏ決定了我們無法同時确定這兩者，這也是粒子的固有性質，跟你測不測量無關。

就像我們處理信号一樣，我們處理信号既可以從時域看，也可以從頻域看，不同角度看到的樣子并不一樣，它們之間就差了一個傅裡葉變換。

在量子力學裡，同一個波函數從位置表象切換到動量表象，它們之間也是差了一個傅裡葉變換。也就是說，對于同一個波函數，在位置表象裡長這樣，你想看看它在動量表象裡長啥樣，進行一個傅裡葉變換就行了。

如上圖所示，同樣兩個正弦波，當我們從正面看的時候，它是一些波疊在一起的；當你從側面看時，它就變成了兩個尖尖，隻在兩個地方有取值。你從正面看到的是波，從側面看到的是點，但你無法找到一個角度讓你既看到波又看到點，波和點之間就差了一個傅裡葉變換。

粒子的位置和動量之間的不确定性也是這麼回事。當粒子處于位置本征态時，你能完全确定粒子的位置，粒子在位置上隻能取一個值，在圖像上就是隻在一個點上有取值。這時候，我們通過傅裡葉變換切換到動量視角，就會發現對應的圖像是一個平面波，它說明粒子取任何動量值的概率都一樣，這樣動量就完全不确定了。

于是，粒子的位置完全确定了，動量就完全不确定了，這是傅裡葉變換的自然結果。因此，當我們從不同角度審視同一個東西時，會出現那種不确定關系其實是非常自然的一件事。

另外，雖然我們沒法同時看清楚一頭大象的眼睛和身體，但如果這裡有兩頭大象，你想同時看清楚一頭大象的眼睛和另一頭大象的身體，那就輕而易舉了。所以，不同粒子間的所有力學量都是對易的，你想同時确定一個粒子的位置和另一個粒子的動量顯然是沒有任何問題的。

這樣一來，大家對粒子的位置和動量之間的不确定關系有一個比較直觀的認識了麼？你還會覺得不确定性原理由于測量的擾動導緻的麼？

11能量-時間不确定關系

除了位置和動量，常見的不确定關系還有另一組，那就是能量E和時間t的不确定關系：

從形式上來看，它跟位置和動量的不确定關系式σxσp≥ℏ/2幾乎一模一樣。

回想一下位置-動量不确定關系的推導過程，我們先是得到了最一般的不确定關系：

然後把位置和動量的對易關系[x,p]=iℏ代入上式，就得到了位置和動量的不确定關系σxσp≥ℏ/2。

于是，有些人就會想：能量和時間的不确定關系是不是也是這樣，也是把能量和時間的對易關系（如果有的話）代入之後就能得到？

細心的朋友可能注意到了，在前面講位置-動量的不确定關系時，為了讓大家意識到我們談論的是位置和動量的标準差σ，而不是測量時的擾動，我特地用σx和σp替換了更常見的Δx和Δp。但到了這裡，我并沒有使用σt和σE，而是直接使用Δt和ΔE來表示能量和時間的不确定關系，為什麼？

難道到了這裡，我就不再怕大家把Δt、ΔE理解為測量時間和能量時的擾動了麼？怕，當然怕，特别是能量的标準差ΔE。

我們确實可以像談論位置、動量的标準差σ那樣談論能量的标準差，我們這裡的ΔE，也确确實實指的是能量的标準差σE。但是，這個式子裡還有一個非常特殊的量——時間Δt，它指的是時間的标準差σt麼？慢着，你先告訴我：時間的标準差是什麼鬼？

位置、動量、能量等力學量的标準差好理解，系統狀态确定以後，概率分布也随之确定了，我們就可以求出各個力學量的平均值，進而求出它們相對平均值波動的标準差。但是，時間的平均值是什麼鬼？你又要如何計算相對“時間平均值”波動的方差和标準差？

相信大家已經看到問題的關鍵了：在量子力學裡，時間并不是一個力學量，而隻是一個參數，它跟位置、動量、能量這些力學量有本質的區别。

你可以在任何時刻測量粒子的位置、動量、能量這些力學量，但是，你能測量粒子的“時間”麼？當你說粒子的“時間”時，你是不是自己都覺得有點搞笑？哪裡有什麼粒子的“時間”，時間在量子力學裡是一個參數，各個力學量都是時間的函數，它們随時間變化，粒子并沒有一個叫“時間”的力學量在随着時間變化。

所以，當系統狀态确定後，我們可以計算位置的平均值，可以計算動量、能量的平均值，但你沒法從統計意義上計算時間的平均值，于是也沒有什麼時間的标準差。所以，我們寫一個σt出來是沒有意義的。

當然，在狹義相對論裡，時間和空間獲得了平等的地位，你确實可以平等的處理時間t和空間x。但我們現在讨論的是非相對論性量子力學，薛定谔方程也是非相對論性的，所以，我們不能像位置-動量不确定關系那樣理解能量-時間的不确定關系。

那麼，我們要如何考慮ΔtΔE≥ℏ/2呢？特别是，我們要如何看待這裡的Δt？

12時間的意義

量子力學告訴我們：定态就是系統的能量本征态。

從表面上看，能量本征态隻是系統具有确定能量的狀态，似乎并沒有不随時間變化的意思，那為什麼還要說它“定”呢？那是因為，雖然此時的波函數依然跟時間有關，但概率分布卻不随時間變化，于是，任何力學量的平均值也不随時間變化。這是概率分布和力學量平均值都不随時間變化的狀态，所以我們稱之為“定态”。

當系統處于能量本征态的時候，能量的取值是确定的，因此能量的标準差ΔE=0。根據能量-時間的不确定關系ΔtΔE≥ℏ/2，當ΔE=0的時候，Δt必然就要變成無窮大，這跟位置-動量的不确定關系是一樣的。這就暗示我們：當系統處于能量本征态時，由于ΔE=0，所以某個跟時間相關的Δt會變成無窮大。那麼，這時候有什麼跟時間相關的量會變成無窮大呢？

我們已經知道能量本征态是定态，是力學量的平均值不随時間變化的狀态，位置、動量這些力學量的平均值這一刻是這樣，下一刻還是這樣，永遠都不會變化。換句話說，此時各個力學量的平均值的變化周期T變成了無窮大。

大家想想是不是這麼一回事？一個東西不動了，我們也可以說是它的變化周期變成了無窮大。擺鐘每秒擺動一次，它的擺動周期是一秒；如果它十秒擺動一次，那周期就變成了十秒，我們就會覺得這個鐘擺變慢了許多；如果擺動一次需要無窮大的時間，那它的擺動周期就會變成無窮大，我們就會覺得這個擺鐘不動了，也就是說它不再随時間變化。

所以，當系統處于能量本征态時，它的标準差ΔE=0。與此同時，各個力學量的平均值也不随時間變化（定态），我們也可以說力學量平均值的變化周期T變成了無窮大，而這個跟時間相關的變化周期T，正是ΔtΔE≥ℏ/2裡的Δt。

也就是說，能量-時間不确定關系裡的Δt不是什麼時間的标準差，也不是測量時間的擾動，而是各個力學量的平均值的變化周期T。

于是，當位置、動量這些力學量的平均值變化很快時（Δt很小），能量的不确定度就越大，标準差ΔE就越大；當任意力學量的平均值變化很慢時（Δt很大），能量的不确定度就越小，标準差ΔE就越小；當任意力學量的平均值不變時（Δt無窮大），能量的不确定度ΔE就等于0，也就是說能量完全确定了，那這就是能量本征态（定态）。

如果這樣還不好理解，那我們再換個角度。你想想，如果系統不是處于能量本征态，而是處于兩個能量本征态的疊加态，那系統的能量就不是确定值了，測量時就會有一定概率處于這個能量的本征值，有一定概率處于那個能量的本征值，能量的标準差ΔE也不再為0。

又因為系統處于兩個能量本征态的疊加态，這不是定态，所以各個力學量的平均值也不會是定值，而會随着時間t變化，那力學量平均值的變化周期T（Δt）自然也不再是無窮大。

所以，當系統不是能量本征态（定态）的時候，能量的标準差ΔE>0（變大了），力學量平均值的變化周期Δt就不再是無窮大（變小了），此消彼長，它們的乘積仍然滿足ΔtΔE≥ℏ/2。

能量-時間的不确定關系比動量-位置不确定關系要難理解一些，因為時間在量子力學裡隻是一個參數，跟位置、動量、能量這些力學量有本質的區别。它的推導過程也更加複雜，需要大家有一定分析力學的基礎，我這裡就不細講了，以後有機會再說（怕錯過的盯着我的公衆号長尾科技就行）。

在這裡，大家隻要知道ΔtΔE≥ℏ/2裡的Δt不是時間的标準差，而是力學量平均值的變化周期T就行了。

13結語

再回過頭看看，不确定性原理的表述和公式看起來都很簡單，似乎誰都能看懂。但是，想要真正理解這些内容，還是得先建立量子力學的基本框架，學會從量子視角看問題，否則就會造成各種誤解。

這種誤解在量子力學裡非常普遍：很多人一聽到量子力學裡說能量不連續，立馬就覺得能量在任何情況下都是不連續的，并且腦補時間、空間也都是不連續的；一聽到不确定性原理說無法同時測準位置和動量，就以為這是測量帶來的幹擾；看到量子力學都是在描述微觀粒子，就覺得量子力學隻在微觀世界有效；一聽到量子力學裡談概率，就覺得在量子力學裡任何事情都是概率性的……

隻要你還沒有建立量子力學的基本框架，隻要你還是從經典力學的視角看待量子世界的各種現象，這樣的誤解幾乎是不可避免的。

如果我們不知道量子力學的基本框架，不知道疊加态、本征态以及統計诠釋，我們很難想象不确定性原理裡的Δx、Δp竟然指的是統計意義上的标準差σx、σp，那各種誤解就在所難免了。正因為我們知道Δx、Δp指的是标準差，我們才能清楚的看到：測量之前的位置和動量一樣有标準差σx、σp，一樣滿足σxσp≥ℏ/2，它的根源是位置和動量之間的不對易[x,p]=iℏ，而不是測量帶來的擾動。

至于能量-時間不确定關系，這裡不僅需要我們理解能量本征态和定态，還要理解時間t在量子力學裡不是力學量，而隻是一個參數。所以我們不能把ΔtΔE≥ℏ/2裡的Δt理解為時間的标準差，而隻能理解為力學量平均值的變化周期，這對量子力學的基礎要求就更高了。

關于不确定性原理，就先講這麼多吧~

轉載内容僅代表作者觀點

不代表中科院物理所立場

如需轉載請聯系原公衆号

原标題：不确定性原理到底在說什麼？

來源：長尾科技

編輯：Garrett

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!