如果有人問，人類到目前為止研究進展最緩慢的領域是什麼？别的學科，見仁見智。但要是數學上的話，毫無疑問是對于素數的研究。古老而又漫長，有無數人前赴後繼去研究，然而，成果卻真心是不多。

上古大神——歐幾裡得

公元前300年，歐幾裡得最早研究了形如2^N-1的素數，發現了這個性質：

若2^N-1是素數，則2^N-1×(2^N-1)是一個完全數。

這個性質用等比數列的求和公式很容易驗證，也就是說隻要找到新的梅森素數，新的完全數也就誕生了。後來人們又發現了一個性質：

若2^N-1是素數，則N必定為素數。

我中學時代也曾經琢磨過這個問題，其實這個問題用因式分解就可以證明：

這個命題的逆命題卻不一定成立，事實上，假如逆命題也成立的話，那麼素數的秘密恐怕在幾百年前就基本上揭露殆盡了。但是當N等于某一些素數的時候，2^N-1卻真的可以是素數。

馬林·梅森（1588-1648）

費馬大法官在17世紀對于形如這樣的素數做了不少研究，馬林·梅森在歐幾裡得，費馬的研究基礎上對這樣形式的素數做了大量系統性的研究，如此形式的素數也被稱作梅森素數。1644年，梅森在一本著作《物理數學随感》中大膽斷言：

在不大于257的素數中，當p = 2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257 時，2^N-1是素數，其它都是合數。

之前費馬數的研究曆史中，我們發現，曆史上凡是關于可能構造出素數的猜想都會極大地吸引人們的研究熱情，梅森素數也不例外。幾百年前，隻能靠手算，這是要花費多大的心血！偉大的歐拉在1772年，時年65歲，在雙目失明的情況下，心算驗證了M(31)是素數，這個數有10位，是當時已知的最大素數。梅森的猜想其實并不完全正确，人類在1922年終于手動驗算了梅森提出的所有p值。

哪裡都有你——歐拉大神

手動驗算的年代裡發生過一件趣事，這是關于M(67)的素性檢驗。1903年，美國數學家柯爾在美國數學家大會上做了一次簡短，精彩的報告。隻見他走上講台，一言不發，刷刷寫了一行等式：

2⁶⁷-1=193707721×761838257287

人們久久才意識到這個等式的意義，紛紛鼓掌，祝賀他證明了M(67)不是素數。數學家們有時候就是這麼簡單，直白，充滿暴力美學。

超級計算機

從遠古時期到1922年，人們利用手算的方式一共找到了12個梅森素數。接下來人們利用電子計算機又找到了22個梅森素數。但是利用大型計算機成本太高了，曾幾何時，美國一些大學裡的超級計算機隻要一啟動，整個城市至少有三分之一都要停電，能源消耗可想而知。然而世界互聯網的普及卻帶來了另外一種找尋梅森素數的思路。

分布式計算網格

1996年，在美國程序設計師沃特曼和庫爾沃斯基等人的共同努力下，建立了世界上第一個基于互聯網的分布式計算項目——因特網梅森素數大搜索（GIMPS）。這個項目很好地利用了人們個人計算機的空閑算力來為科學研究做貢獻，就相當于Uber把私家車主吸引過來， 将他們私家車上的多餘運力通過平台發揮出來提供給需要的人。曾幾何時，人們也是通過這種分布式計算的方式找到了1萬億個黎曼猜想的非平凡零點。

2018年12月21日，GIMPS宣布最大素數獲得驗證

人們把自己的個人計算機的空閑算力貢獻出來有酬勞嗎？基本上沒有，科學上的事情怎麼能随随便便就說要報酬呢？事實上，假如你運氣足夠好，你也可以獲得一筆不菲的獎勵。1999年，這個項目獎勵制度也開始啟動了。比如你找到第一個100萬位的梅森素數，獎勵你5萬美元；1000萬位可以獲得10萬美元，1億位15萬美元。。。當然了，沒人會指望做這個發财緻富，人們參與進來的根本原因是為了求知和探索，如果自己真的發現了梅森素數，這份榮譽也是很難得的。

到目前為止，已經有60萬人加入了這個幾乎等同于公益性質的項目了，在數百萬台個人計算機的加持之下，這個項目目前的算力可以達到2300萬億次每秒，這個算力跟最厲害的超級計算機基本持平，但是成本卻幾乎為零。人們從這個項目裡一共發現了16個梅森素數，當然也就發現16個新的完全數了。

值得一提的是在2017年12月26日，美國人佩斯（不是中國佩斯）發現了第50個梅森素數，這個數大概有2300多萬位，可以用2^77232917-1來表示，這是當時已知最大的素數（2018年12月7日發現了第51個梅森數M(82589933)）。

2017年發現的最大素數

有家日本出版社想了個絕妙的點子，他們就把這個長達2300多萬位的素數從頭到尾印刷成一本書，720頁全部是無窮無盡的數字。可是誰也沒想到，該書居然在4天内售出1500本，後期居然還要加印才行！這在專業的數學類書籍中裡是很難看到的暢銷行情。沒人真的會把這本書從頭讀到尾，但是這個噱頭還是吸引了相當大的人群，創意真是無限精彩。不過我在想，這本書的版權應該屬于誰呢？

2017年世界最大素數之書

說到這裡，肯定又有一些人要問，人們耗費那麼大精力去計算這種幾百萬位的數字意義何在？

網絡信息安全的閘門——RSA加密算法

梅森素數在現代加密方式有着重大的應用，著名的RSA加密算法為什麼如此可靠，就是基于對大數分解的困難性。我們學習基本的算法編程時，都做過很多跟素數相關的小程序，通常情況下，對于運算高達幾十億次每秒的個人計算機來說，我們是基本上感受不到計算機運算時間的，因為數字太小。那假如給你一個幾千位的大數，你再去分解看看，恐怕等你的電腦算報廢了都不一定能分解出來。相反的，給你兩個數，讓你去驗證是否是某個超級大數的因子，這個卻非常容易。梅森素數給出了一種最純粹形式的素數，用的素數越大，分解這個大數的難度就越大，甚至近乎不可能。

其次這種需要大量計算的事件中，為了達到最終結果，算力是一方面，另外一方面更加重要的是算法的革新。如果算法複雜度很低，那麼你就可以用很有限的算力，就可以獲得極高的成果。舉個最動聽的例子，2001年，一個叫魏德涅夫斯基的德國人通過分布式計算的方法，在世界上動用幾萬台計算機來一起尋找黎曼猜想的非平凡零點，截止到2004年末，得到了大約1萬億個非平凡零點。然而幾乎在同時，兩個法國年輕人宣布，用自己的幾台個人計算機，用時1年，居然發現了10萬億個非平凡零點，人們直呼不可思議。後來人們才了解，他們用了更加高明的計算公式，這個公式的執行效率遠比魏德涅夫斯基采用黎曼-西格爾公式高的多，所以就産生了如此戲劇性的事件。幾台個人電腦居然PK掉了幾萬台計算機，甚至還高出了1個數量級！至此，魏德涅夫斯基用計算機找尋海量黎曼猜想非平凡零點的項目才停止下來。毫無疑問，算法有效性提高的意義要遠遠高于計算力的提高。

考驗算法和算力的基本工作——π

那麼我們怎麼才能确切知道我們使用的算法是否有效呢？或者有效性可以提高多少，那就必須要驗證，于是這些看似“毫無意義”的重複計算就開始了。事實上，世界上仍然有許多大型計算機在日夜不停地計算π的值，甚至到了1000萬億位後仍不停歇。

抛開上面兩個最實際的作用，即使梅森素數看不到任何實際的用途，科學家們也還是會去不停地找尋它。人類發展進步的動力和源泉在哪裡？那就是人們永無休止的探索欲，對未知世界的無限向往。這就像很久以前，有人問一位著名的登山家，你為什麼總是要冒着生命危險去攀登一座又一座高峰呢？“因為，我要登的山就在那裡。”

人類永不停息的探索之旅

到目前為止，人們找尋一般的素數和梅森素數的腳步均未停止，數字越大，人們驚訝地發現，找到的最大素數幾乎都是梅森素數，這裡絕不是巧合。我總感覺這裡面應該有更加深層次的原因，可能大素數從根本上就和梅森素數在構造上同根同源，然而人們現在還遠遠沒有能力去探尋到這一步，畢竟對于一般素數的性質人們其實都還知之甚少。

前面有個“abc猜想”揭示了加法，乘法，和素數之間可能存在的内在關系。我也希望後來的某天，會有位大神來揭露一般大素數和梅森素數之間隐藏的秘密。

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