導數與微分是微分學的兩個重要概念，研究函數的各種性态以及函數值的計算或近似計算都離不開導數與微分，導數與微分是解決這些問題的普遍的有效的工具。

1、瞬時速度

如果物體作非勻速直線運動，其運動規律（函數）是 s = f（t），其中 t 是時間 ，s 是距離 。

現來讨論它在時刻 t0 的瞬時速度 。

在時刻 t0 以前或以後任取一個時刻 t0 △t ，△t 是時間的改變量：

當 △t > 0 時， t0 △t 在 t0 之後 ；當 △t < 0 時， t0 △t 在 t0 之前 。

當 t = t0 時，設 s0 = f（t0）。

當 t = t0 △t 時，設物體運動的距離是 s0 △s = f（t0 △t），有

△s = f（t0 △t） - s0 = f（t0 △t）- f（t0） ，

△s 是物體在 △t 時間内運動的距離，是運動規律 s = f（t）在時刻 t0 的距離改變量 。

已知物體在 △t 時間的平均速度 v△t （亦稱距離對時間的平均變化率）是

圖（1）

當 △t 變化時，平均速度 v△t 也随之變化 。

當 ∣△t∣較小時，理所當然地應該認為，平均速度 v△t 是物體在時刻 t0 的 “瞬時速度”的近似值 ，

當 ∣△t∣ 越小它的近似程度也越好 。

于是，物體在時刻 t0 的瞬時速度 v0 （亦稱距離對時間在 t0 的變化率）就應是當 △t 無限趨近于 0 （△t ≠ 0）時，

平均速度 v△t 的極限，即

圖（2）

瞬時速度的定義也給出了計算瞬時速度的方法，即計算（1）式的極限。

2、切線斜率

欲求曲線上一點的切線方程，關鍵在于求出切線的斜率。

設有一條平面曲線（如圖所示），它的方程是 y = f（x）。

求過該曲線上一點 P（x0 , y0）（注：y0 = f（x0））的切線斜率 。

圖（3）

在曲線上任取另一點 Q ，設 Q（x0 △x , y0 △y）, 其中 △x ≠ 0 , △y = f（x0 △x）- f（x0）。

由平面解析幾何知，過曲線 y = f（x）上兩點 P（x0 , y0）與 Q（x0 △x , y0 △y）的割線斜率（即 △y 對 △x 的平均變化率）

圖（4）

當 △x 變化時，即點 Q 在曲線上變動時，割線 PQ 的斜率 k' 也随之變化；

當 ∣△x∣較小時，割線 PQ 的斜率 k' 應是過曲線上點 P 的切線斜率的近似值；

當 ∣△x∣越小這個近似程度也越好 。

于是，當 △x 無限趨近于 0 ，即點 Q 沿着曲線無限趨近于點 P 時，割線 PQ 的極限位置就是曲線過點 P 的切線，同時割線 PQ 的斜率 k' 的極限 k 就應是曲線 過點 P 的切線斜率 （即 y = f（x）在 x0 的變化率），即

圖（5）

于是，過曲線 y = f（x）上一點 P（x0,y0）的切線方程是

y - f（x0）= k（x - x0）

切線斜率的定義也給出了計算切線斜率的方法，即計算（2）式極限。

3、導數的概念

定義：設函數 y = f（x）在 U（x0）有定義，在 x0 自變數 x 的改變量是 △x ，相應函數的改變量是 △y = f（x0 △x）- f（x0）。若極限

圖（5）

存在，稱函數 f（x）在 x0 可導（或存在導數），此極限稱為函數 f（x）在 x0 的導數（或微商），表為

圖（6）

或

圖（7）

若極限（3）不存在，稱函數 f（x）在 x0 不可導。

定理1、若函數 y = f（x）在 x0 可導，則函數 y = f（x）在 x0 連續 。

定義：若函數 f（x）在區間 I 的每一點都可導，則稱函數 f（x）在區間 I 可導。

若函數 f（x）在區間 I 可導，則 對任意的 x∈I 都存在（對應）唯一一個導數 f '（x）,根據函數定義，f '（x）是區間 I 的函數，稱為函數 f（x）在區間 I 的導函數，也簡稱導數，表為 f '（x），y' 或 dy / dx 。

4、例題

求正弦函數 f（x）= sinx 在 x 的導數 。

解： f（x △x）= sin（x △x）

△y = f（x △x）- f（x） = sin（x △x） - sinx

例題圖（1）

例題圖（2）

有

例題圖（3）

例題圖（4）

即正弦函數 sinx 在 R 任意 x 都可導，于是它在定義域 R 可導，并且 （sinx）' = cosx 。

同樣，餘弦函數 cosx 在定義域 R 也可導，并且 （cosx）' = - sinx 。

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