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生活更新时间:2024-11-23 18:29:37

level函數（A-level高數vector部分公式證明）1

學習Alevel高數的同學們一定有對vector感到頭疼的經曆，不僅公式繁多，而且有些公式還想不明白為什麼是這樣，雖然考試并不考公式證明，但不明白的東西就記不住或者用起來不踏實，學校和課本上又講得不是很清楚，所以現在老師就把vector的一些公式證明一下。這些公式包括：

兩個向量的向量積（俗稱的叉乘）性質
兩個向量夾角的sin
點到直線的距離
點到平面的距離
用向量表示的三角形面積
用向量表示的四面體體積
異面直線的最短距離

限于篇幅，這篇文章隻證明1-4，剩餘的5-7下次再寫，請童鞋們關注正領睿學公衆号以免錯過喲

設兩個向量是：

level函數（A-level高數vector部分公式證明）2

1.兩個向量的向量積與這兩個向量都垂直

要證明這個結論，隻需要驗證向量積與這兩個向量點乘都等于0就行了。

level函數（A-level高數vector部分公式證明）3

2.兩個向量夾角的sin是

level函數（A-level高數vector部分公式證明）4

要證明這個公式，隻要驗證它的平方和兩個向量夾角的cos平方加起來等于1就行了。

level函數（A-level高數vector部分公式證明）5

這個計算量比較大，我們不需要把分子分母完全展開，隻需要觀察一下分母如果展開，其中的每一項分子上都有，并且分子上沒有更多的項，這樣分子和分母就相等了，所以整個分式等于1

3.點到直線的距離

如圖，設點A的position vector是OA，直線方程是r=p td，這裡的p和d分别表示直線的position vector OP和direction vector，我們就用單個字母表示vector，不需要寫出裡面的每個數字。從A向直線作垂線，垂足是F，并連接A和P。

level函數（A-level高數vector部分公式證明）6

在直角三角形APF中，斜邊是|OA-p|，我們要求直角邊|AF|，隻需要再有sinAPF就行了。而角APF可以看成向量OA-p和d的夾角，所以

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4.點到平面的距離

如圖，設點A的position vector是OA，平面方程是r·n=d，這裡的n和d分别表示平面的normal vector和一個常數。從A向平面作垂線，垂足是F，并連接A和平面上任意一個點P

level函數（A-level高數vector部分公式證明）8

在直角三角形APF中，斜邊是|OA-OP|，我們要求直角邊|AF|，隻需要再有cosPAF就行了。而角PAF可以看成向量OP-OA和n的夾角，所以

level函數（A-level高數vector部分公式證明）9

其中OP·n=d是因為P是平面上的點，所以OP可以代入平面方程裡的r

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