人工智能數學基礎系列文章

• 1. 人工智能數學基礎----導數
• 2. 人工智能數學基礎----矩陣
• 3. 人工智能數學基礎----線性二階近似

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人工智能的學習對于數學要求還是需要一定的功底的，不管是算法還是涉及到的名詞概念，都是建立在數學模型的基礎上來做訓練學習的，所以非常有必要把涉及到的數學知識都理解和梳理一遍，才能把思維從傳統的編程方式轉變過來。

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這裡介紹的是 一元函數(标量場)的導數，以後會介紹多元函數(矢量或者多維矩陣場)導數，因為多元函數需要向量和矩陣相關的知識，會先介紹向量和矩陣相關之後，再來詳細介紹多元函數導數問題

一、導數

1. 定義

函數導數f'(x0)，就是函數f(x)在x0值處的導數，也是函數f(x)在x0這個點的切線斜率，這個點我們這裡用P點表示，如圖：

2. 求導的推導過程

我們知道高中的時候對于函數斜率的計算公式：y-y0 = m(x - x0)，其中m就是函數的斜率。具體我們要怎麼求出這斜率值或者導數呢。

上圖中，假設有一條直線l，與函數f(x)相交于p0和Q點，保持p0點不變，當Q點沿着函數f(x)向p0點無限靠近，P0點和Q點重合的時候，此時直線l就和P0的切線n重合，這是一個極限的無限趨于x0值（也就是P0點）的求解過程。 上圖看出，P0點到Q點在x軸上的變化量是Δx，Q點的x值就是x0 Δx，Q點在y軸上的變化量就是Δy,或者叫Δf。P0和Q點的坐标是： P0( x0, f(x0) )，Q( x0 Δx, f(x0 Δx) ) 最開始我們提到了，斜率的計算公式y-y0 = m(x-x0)，m = (y - y0) / (x - x0)，m = Δf / Δx, 這是割線l的斜率，要求P0的斜率，則要引入極限的概念，斜率或者說導數的如下（當Δx趨近于0的時候，也就是變化量趨于0的時候，Q點和P0點重合）：

3. 求導例子

例子一

根據以上公式，舉個例子，有函數f(x) = 1/x，求在x0上的導數？

當Δx趨近于0的時候，函數1/x的導數是 -1/x^2。例子二

函數1/x的導數求出來後，我們來解決一個有趣的問題，求出經過在函數f(x) = 1/x的點P的切線與坐标軸交點所圍成的三角形的面積，如下圖求出三角形AOB的面積：

經過上面的學習，我們已經知道切線的方程：y-y0 = m(x - x0)，函數f(x) = 1/x的導數是 -1/x^2，求三角形面積，我們隻要求出線段AO和BO的長度，即在A點的坐标(0, y)和B點的坐标(x, 0)，将A、B兩點的坐标值和函數導數代入切線方程中得到：

求解的過程寫的有點亂，将A、B坐标和導數代入後，求出A和B代表的三角形的兩個邊的y、x值。最後根據三角形面積公式：1/2AOBO，求出面積為：2, 函數f(x) = 1 / x，比較神奇，過函數的點的切線與坐标軸交點所圍成的三角形面積都是2。例子三

既然函數f(x) = 1/x（即x的-1次幂）可以求其導數，f(x) = x^n，也可以求其導數，如下是求導過程：

這裡最難的是二項式(x Δx)^n的展開為多項式，（二項式定理）這個高中的數學書應該有提及，其實隻要試試(x Δx)^2和(x Δx)^3的展開，就可以找出其中規律，上圖寫的O((Δx)^2)是許多由Δx所組成的項式，因為我們求導最終是一個極限的過程，所以隻有變化量的項式就寫成了一個統稱，沒有實際的計算意義。最終得出當Δx趨于0的時候，函數f(x) = x^n的導數是 f '(x) = nx^n-1，通過這個導數公式也可以反過來證明我們上門例子一中所計算出的函數f(x) = 1/x的導數，也是f '(x) = -1/x^2（即-x^-2）。 經過例子三的計算，很容易對多項式函數進行求導，比如：f(x) = 10x^3 -2x^5，f '(x) = 30x^2 - 10x^4。例子四

下面來推導下三角函數的導數： f(x) = sinx，f '(x) = (sinx)'，利用上門的求導公式，解得：

正弦的兩角和公式展開後，求得Δx趨于0的時候，cosΔx等于1，所以cosΔx-1 / Δx等于0，Δx趨于0的時候，sinΔx等于0， sinΔx/Δx等于1。餘弦函數f(x) =cosx的求導，f '(x) = (cosx)'：

以上三角函數的兩角和公式： sin(x Δx) = sinx·cosΔx cosx·sinΔx cos(x Δx) = cosx·cosΔx - sinx·sinΔx二、高階導數

所謂高階導數就是，函數的一次求導叫一階導數，對一階導數再次求導叫二階導數，對二階導數再次求導叫三階導數，對三階導數再次求導叫四階導數，如果求導n次就是n階導數，這些都是高階導數。這裡舉個例子，函數f(x) = x^n，的n次導數，求解？ 牛頓用f '(x)表示一階導數，萊布尼茨在微分中使用 d/dx(x^n)來表示一階導數也可以用D x^n 來表示，(d/dx)d/dx(x^n)表示二階導數也可以用D ^2 x^n表示，n次導數可以用 D^n x^n

下面我們來對函數f(x) = x^n，進行n階導求解：

最終是一個n!，n的階層是一個常量了，如果進行n 1次求導，那麼函數f(x) = x^n的n 1階導數就是0。三、常用導數公式

其中指數和對數的會比較難記住，我就是經常記不住。o_o|||，慚愧高中指數和對數的知識也忘了。以後還是有必要專門有一篇是介紹和複習指數對數相關概念、性質和運算法則的文章。

導數知識先介紹到這，關于四則運算的求導，網上已有很多資料，可以上網查找其相關求導法則，萬變不離其宗推導方式都可以利用第二小标題的“求導公式”來計算推導。希望這篇文章能對你有所幫助，回憶起高中導數和微分相關的内容。

人工智能數學基礎系列文章

• 1. 人工智能數學基礎----導數
• 2. 人工智能數學基礎----矩陣
• 3. 人工智能數學基礎----線性二階近似

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參考文獻：K碼農-http://kmanong.top/kmn/qxw/form/home?top_cate=28

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