龐加萊是有史以來世界上最偉大、最有創見的數學家和物理學家之一。他差一點搶在愛因斯坦之前發現狹義相對論。他幾乎是憑一己之力創建了現代數學的一個極其重要的分支——代數拓撲學。龐加萊知識廣泛，成就斐然，其研究涵蓋了數學的好幾個分支，以及天體力學、現代物理學甚至心理學，因此他被稱為世上最後一位偉大的科學全才。

龐加菜很像黎曼，喜歡從基本原理出發，開展自己的研究工作，而不是把研究建立在其他人的成果甚至自己先前的工作之上。現今大多數數學家認為他是有史以來最偉大的天才之一。他還對數學思維的本質有着一種濃厚的興趣。1908年，他在反省自己思想過程的基礎上，作了關于數學創造性的著名演講，題目為“數學的發明”。

龐加萊自己寫道∶“我們通過邏輯去證明，通過直覺去創造。”他尤其不贊同希爾伯特的觀點∶數學推理能被公理化并（在原則上）被“機械化”。這是一個龐加萊認為不可能成功的計劃，後來哥德爾證明他是對的。

龐加萊對數學的第一個重大貢獻是創立了自守函數的概念和理論，這是一類從複數到複數的特殊函數。在他随後的生涯中，龐加萊對涉及複數的函數作了進一步的研究，人們普遍把他譽為多複變解析函數理論的創建者。他還研究了數論和幾何學。

在龐加萊對拓撲學的研究中，産生了一個世界難題∶龐加萊猜想。1895年，龐加萊出版了他的著作《位置分析》。在這本書中，龐加萊引進了拓撲學中的幾乎所有的概念和主要方法。

拓撲學是一種“超幾何”。數學家通過拓撲學研究曲面和其他數學對象的非常一般的性質。在拓撲學中，數學家的興趣大都集中在三維或更高維的數學對象上，龐加萊錯誤地認為某個關于二維物體很顯然的事實對于三維或更高維的類似對象也會成立（這是龐加萊猜想的來源）。

二維拓撲學有時被很有聯想性地稱為“橡皮膜幾何學”。

1931年，英國的貝克設計了現在的倫敦地鐵。這張地圖被認為是最好地圖之一，很多人試圖對它進行改進，都沒有成功。這張地圖把方便性與外表的美結合在了一起，現在已經成為倫敦的标志，也是全世界地鐵地圖的典範。

• 拓撲學的應用∶倫敦地鐵地圖。

這張地圖顯示出了拓撲學的巨大威力。事實上，這張地圖在每一個方面都是不準确的。但它精準地描述了一名乘客需要從這張地圖中獲取的信息——什麼地方上車，什麼地方下車，什麼地方換線，從而而犧牲了其他所有的細節。

這個例子說明了二維拓撲學的本質。如果把那張地鐵地圖印在一張具有極好彈性的橡皮膜上，它就可以被拉伸和壓縮得使每個細節都正确，從而形成一張标準的、地理上準确的地圖。用數學術語說，原因在于這個網絡結構（定義為由不同直線連接的點的集合）的布局是一個拓撲性質。簡單地說，網絡是拓撲對象。你可以扭曲和拉伸一個網絡中的任何連線，而不會改變其總體布局。要改變這個網絡，你必須斷開一條連線或增加一條新的連線。這對電路圖、電路本身、計算機芯片、電話網絡和互聯網都成立。

這就是為什麼當今世界上“橡皮膜幾何學”是最重要的數學分支之一。在地鐵地圖的情況中，隻要它在拓撲上是準确的，制圖上是不是準确沒有關系。類似地，對于電路或計算機芯片的設計，重要的是網絡的布局。如果布局在拓撲上是準确的，那麼電線的位置可随意改動，以滿足其他的設計要求。在計算機芯片的設計中也是如此，關鍵是蝕刻在矽片上的電路必須在拓撲上是準确的。

一般說，二維拓撲學（橡皮膜幾何學）是研究圖形的這樣一種性質∶把這圖形畫在一張（假想的）具有極好彈性的橡皮膜上，然後扭曲和拉伸這張膜，這種性質仍然保持不變。其實，拓撲學的發展不是由任何應用數學領域的需要驅動的。相反，它來自純粹數學的内部，來自于想理解微積分為什麼有效而進行的奮鬥。

從牛頓和萊布尼茨在17世紀中葉發明微積分的那一刻開始，數學家就廣泛地使用了它。但是，沒人真正理解為什麼微積分會有效。在一大批數學家長達300年的努力下得到了（他們對實數和無窮過程的本性，以及數學推理本身進行了詳細的分析），這終于得到了解釋。

但這也讓數學變得越來越抽象了。19世紀出現了大量的新類型對象和模式，它們不屬于日常經驗的任何一部分。在最近200年間數學家研究的新對象和新模式中，有非歐幾何（平行線可以相交）、四維和更高維的幾何學、無窮維幾何學、用符号代表圖形對稱性的代數（稱為群論）、用符号代表邏輯思維的代數（命題邏輯），以及用符号代表二維或三維空間中運動的代數（向量代數）。

在抽象性的擴增中，拓撲學也随之出現了。一開始想法是發明一種“幾何學”，來研究圖形不會被連續變形所破壞的性質，因此這種幾何學不依賴于直線、圓、立方體這些概念，也不依賴于長度、面積、體積、角度這些度量。在拓撲學中，研究的對象稱為拓撲空間。

拓撲學與“微積分怎麼會有效”之間的聯系十分微妙。在本質上，這兩者都依賴于能把握無窮小。但是拓撲變換與無窮小會有什麼關系？這關鍵就是∶從直觀上說，拓撲變換的本質是，兩個在變換前“無限靠近”的點，在變換後仍然保持“無限靠近”。特别是把一張橡皮膜無論怎樣拉伸、壓縮或扭曲，都不會破壞這種靠近性。一開始相互靠近的兩個點在操作完成後還是保持靠近。

注意，這裡所說的靠近的概念是相對于拓撲空間中所有其他點而言的。我們可以拉伸這張膜，使得兩個起初緊靠在一起的點在我們看來不再緊靠在一起。但是在這種情況下，“靠近性”的變化是一個我們從外部施加的幾何變化。從橡皮膜的角度看，這兩個點仍然是緊靠在一起的。

破壞靠近性的唯一方法是割破或撕開這張膜——這是一種在拓撲學中被禁止的操作。

要發展拓撲學，數學家必須找到一種方式來把握相對靠近這一關鍵思想。為此，他們着手尋找一種能闡明兩點“無限靠近”這一假設性概念的方式。直觀上說，拓撲變換具有這樣的性質，

如果兩個點一開始是無限靠近在一起的，那麼在進行了這種變換之後它們仍将如此。

這種方法的問題在于“無限靠近”這個概念不是一個定義良好（well-defined）的概念。然而，通過這種方式來考慮拓撲變換，數學家找到了一種能給拓撲變換下一個精确定義的方式（别指望我在這裡給出定義）。這時，就可以用拓撲變換的概念來精确地分析“無限靠近”這個直觀概念。通過這種方式，他們在一種嚴格的意義上發展了微積分。

這就是龐加萊和其他數學家創立拓撲學的主要原因。第一次遇到拓撲學的人心中會産生一個問題∶關于拓撲空間。拓撲空間不僅沒有直線，也沒有固定形狀的概念，更沒有任何類型的距離。你所能說的隻是什麼時候兩點相互靠近。

拓撲學是當代數學中最豐富多彩、最有魅力和最重要的分支之一，在數學、物理學和其他領域中有着許多應用。這裡隻提一個重要的應用∶拓撲學是超弦理論的數學基礎，而超弦理論是關于宇宙本質的最新理論。

讓我們看一看拓撲學家研究的東西。為簡單起見，我隻限于二維的情況。并思考一下高中幾何中有什麼性質可以轉移到拓撲學中。因為拉伸和扭曲橡皮膜将把直線變成曲線，并改變距離和角度，所以這些我們熟悉的幾何概念在拓撲學中毫無意義。

那麼還剩下什麼呢？還有線和閉圈（環）。如果你在一個具有極好彈性的橡皮膜上畫一個圈，那麼不論你如何拉伸、壓縮和扭曲這張橡皮膜，這個圈仍然是一個圈。還有什麼呢？

為回答這個問題，我給你們看看第一個拓撲學成果。它歸功于瑞士大數學家歐拉。1735 年，歐拉解決了一個長期懸而未決的難題——柯尼斯堡橋問題。柯尼斯堡的許多市民習慣與家人一起來此散步，他們常常要走過好幾座橋。于是有了一個經常讨論的問題∶是不是有一條路線，正好每座橋隻走過一次？

歐拉意識到島和橋的準确位置是無關緊要的，重要的是這些橋的連接方式，也就是說，由橋形成的網絡。這個問題是一個拓撲學問題，而不是幾何學問題。

于是歐拉論證如下。取任何一個網絡，假設有一條行進路線，正好每條邊隻走過一次。任何一個結點，隻要不是這條路線的起點或終點，必定有偶數條邊在此相交，這是因為這些邊可以按一條路進一條路出的方式配成對。但是在這個由橋組成的網絡中，那4個頂點都是有奇數條邊在那裡相交。因此不可能有這樣的路線。結論是，經過柯尼斯堡的每座橋正好一次的路線是不存在的。

• 網格的結點代表陸地

這個對柯尼斯堡橋問題的解答産生了世界上第一個拓撲學定理。歐拉證明了對于畫在平面上的任何一個網絡，如果V是頂點（結點）的總數，E是邊（或連線）的總數，F是"面"（由3條或更多條邊圍成的封閉區域）的總數，則下面這個簡單的公式成立∶

例如，關于柯尼斯堡橋的網絡，有V=4，E=7，以及F=4，于是

雖然歐拉解決了第一個拓撲學難題，并證明了第一個拓撲學定理，但是直到19世紀後期，拓撲學才真正起步。因為在這時，龐加萊登場了！

在拓撲學中，我們研究圖形和對象在一種連續變形下保持不變的性質。所謂連續，我們是指這個變形不涉及任何切割、撕裂或黏貼。

例如，在拓撲學中，橄榄球與足球是一樣的，它們和網球也是一樣的，因為這三種球的任何一種都可以通過連續變形而變成其他兩種。在拓撲學中隻存在一種“球”。平時我們識别出來的各類球之間的差别，都與大小和形狀有關，但這些都不是拓撲性質。

拓撲學的早期研究就是尋找各種方式來說明兩個形狀什麼時候在拓撲上是不同的，龐加萊就是這種探求的一個領軍人物。

例如，雖然任意兩個球都是拓撲相同的，任意兩個環面（圓形狀、橢圓形狀或其他什麼形狀的）也是拓撲相同的，但任何球面與任何環面是拓撲不同的。從直觀上看，這好像是顯然的。畢竟，你好像根本沒有辦法對一個球面進行連續變換而得到一個環面。問題就在于那個無關緊要的詞——好像。你怎麼知道肯定沒有辦法做到這一點？例如，

上圖所示的分環智力題中，你能不能找到一種方法把圖形（a）連續地變換成圖形（b）？容易想到的方法是把兩個相互扣住的環中的一個割斷（但這不被允許），如（c）所示。但不用把環割斷也能做到。這應該讓你相信尋找各種完全可靠的方式來證明兩個對象拓撲相同或拓撲不同，确實是一個重要的任務。

順便說下，僅憑沒能找到一個把一個對象變成另一個對象的連續變形，是不能确證這兩個對象拓撲不同的。這裡需要的是找到兩個對象中一個具有而另一個不具有的某種拓撲性質——即經過連續變形仍保持不變的性質。

我們已經遇到過一個這樣的性質。對于任何網絡，V - E＋F的值就是一個拓撲性質。這個量對任何網絡都相同。

對于二維平面上的網格，V - E＋F=1；對于球面上的網絡（要覆蓋整個球面，而不是覆蓋球面的一部分），V-E＋F=2；而環面上的網絡（同樣要求覆蓋整個環面），V-E F =0。于是，我們可以絕對有把握地斷言，二維平面、球面和環面是拓撲不同的。對于畫在雙環面（形狀如數字8）上的網絡，V-E＋F=-2，所以我們還知道雙環面與平面、球面、環面是拓撲不同的。

對于畫在一個特定曲面上的任意網絡，表達式V-E＋F 的值是數學家所謂的曲面拓撲不變量的一個例子。如果我們對這個曲面進行拓撲變換（即連續變形），這個值将保持不變。為了紀念歐拉的貢獻，人們把V-E＋F的值稱為曲面的歐拉示性數。拓撲學家已發現了許多可用來确定兩個特定曲面是否拓撲等價的拓撲不變量，歐拉示性數是其中之一。

另一個拓撲不變量是一個曲面的色數。它起源于一個關于地圖着色的經典問題。1852年，一個名叫格思裡的青年英國數學家提出了一個似乎無足輕重的問題∶

為了能在任何一張地圖上給各個區域着色，你至少需要多少種顔色？

唯一的規則是任何兩個共有一條公共邊界的區域必須被着上不同的顔色。（如果兩個區域僅在一點相互接觸，那麼這個點不能被看作是公共邊界。）很容易畫出需要四種不同顔色的地圖，然而是不是存在需要五種顔色的地圖？答案是否定的，但數學家花了100多年時間才證明了這一點，證明涉及的不僅有巧妙的數學推理，而且有計算機的重大應用。事實上，四色定理是第一個被認為要使用計算機才能得到證明的數學猜想。

四色定理顯然是一個拓撲學結果，因為對畫有地圖的紙進行連續變形，不會改變共有邊界的模式。在變形前共有一條公共邊界的兩個區域，在變形後仍然如此，反之亦然。

四色定理，以及它所回答的那個原始問題，都是針對畫在平面上的地圖的。但是你可以對畫在任何曲面上的地圖提出同樣的問題。一個曲面的色數是，對畫在這個曲面上的任何地圖都能進行着色所至少需要的顔色種數。根據四色定理，平面的色數是4。球面的色數也是4。環面的色數是7。

另一個拓撲不變量起源于“有側性”（sidedness）的概念——一個曲面有一個側面還是有兩個側面。任何曲面都是有兩個側面，不是嗎？回答是否定的。很容易構造一個隻有一個側面的曲面。拿一條狹長的薄紙帶，把它扭轉半周，然後把兩端黏合在一起，形成一個扭曲的紙圈，

這個扭曲的紙圈就是僅有一個側面的曲面，它叫做莫比烏斯帶。除了僅有一個側面外，默比烏斯帶也隻有一條邊。

默比烏斯帶這個例子告訴我們，有側性是與有邊性緊緊聯系在一起的。通常，數學家關注沒有邊的曲面——他們稱之為閉曲面。而且，更為有趣的拓撲性質都與曲面的内部結構（曲面是怎樣扭曲和翻轉的）有關。事實上，對每個有一條邊或多條邊的曲面，一般存在一個幾乎具有相同性質的閉曲面。例如，一個球面和一個有限平面（如平坦的桌面）就性質相似，當我們證明了一個關于球面的拓撲結果，通常立即就有了關于平面的一個結果，反之亦然。

從直觀上說，這是因為我們可以取一張完全可拉伸的平紙，然後把它的邊緣收攏，形成一個封閉的袋子————在拓撲學上這就是一個球面。

與默比烏斯帶相對應的閉曲面叫做克萊因瓶。克萊因瓶沒有邊緣，而且既沒有内部也沒有外部。從理論上說，你可以取兩個默比烏斯帶，沿着它們那條單一的邊把它們黏合在一起，就形成了一個克萊因瓶。我說“從理論上說”，是因為你不可能在普通的三維空間中進行這樣的操作。克萊因瓶（作為數學一個對象）僅存在于四維空間。在我們的三維世界中，你最好是允許這個曲面穿過它自身，

在四維空間中，這個瓶子沒有必要穿過它自身。對于普通人來說，一個僅存在于四維空間的對象當然不是真實存在的，但數學家不這麼認為。畢竟，每個人都"知道"負數沒有平方根，但這并沒有阻止數學家創立了複數，并在實際應用中使用它們。數學的許多巨大威力來自于這樣的事實∶

我們可以用它來研究超出三維世界中的生物所構想的對象。

例如，我們可以研究畫在克萊因瓶上的網絡的性質。我們發現克萊因瓶的歐拉示性數是0，與環面相同。這是不是意味着克萊因瓶與環面是拓撲等價的？不是！歐拉示性數不能區分克萊因瓶與環面，但是色數能，克萊因瓶的色數是6，環面是7。

克萊因瓶的“與其表面單側性相對應的”拓撲性質是一個稱為不可定向性的奇特概念。它是指在克萊因瓶的表面上你不能區分左手性與右手性或順時針旋轉與逆時針旋轉。如果你在克萊因瓶的表面上畫一隻的左手，然後把這個圖形沿着這表面滑動到足夠遠（足夠遠的意思是，如果這個克萊因瓶在三維空間中，那麼這隻手要完全通過自相交的瓶頸），于是當它返回起點的時候，你會發現它不可思議地變成了一隻右手。

這個實驗在默比烏斯帶上做更為容易。在這個曲面上畫一個小小的左手，然後在其臨近複制出這個圖形，重複這個過程，直至回到你的起點。這時你會發現這隻左手變成了右手。或者，在克萊因瓶的表面上或默比烏斯帶上畫一個小圓圈，用一個箭頭表示順時針旋轉，如果你沿着曲面滑動或複制這個圖形，直至你返回起點，這時你會發現這箭頭指向逆時針方向了，

不能通過沿曲面滑動把左手變成右手或把順時針變為逆時針的曲面被稱為是可定向的。例如，球面（或平面）是可定向的，環面和雙環面也是如此。一個能夠做到上述改變的曲面，比方說克萊因瓶或默比烏斯帶，被稱為是不可定向的。可定向性（或不可定向性）是一種拓撲不變量。

拓撲學最初的成果之一是證明了隻要有歐拉示性數和可定向性這兩個拓撲不變量，就能區分任何兩個閉曲面。這就是說，如果兩個閉曲面有相同的歐拉示性數，而且都是可定向的或都是不可定向的，那麼它們事實上是等價的。這個結果稱為曲面分類定理，因為它說隻要用這兩個特征你就能把所有的曲面分類（在拓撲學意義上）。

簡單說，曲面分類定理的證明是通過把球面取為基本曲面并估量任一給定曲面與球面的差異程度（即為把球面轉變成那個曲面而不得不對球面所做的事）而作出的。這與我們的直覺相一緻∶球面是最簡單、最基本的閉曲面。

在這種情況下，為把球面轉變成某種另外的曲面而對球面實行的操作超出了連續變形這個常規的拓撲操作。确實，如果你通過扭轉、彎曲、拉伸和壓縮來改變球面，結果得到的對象在拓撲學意義上仍然是一個球面。要弄清楚曲面怎樣從球面構造出來以對曲面進行分類，就必須在通常的扭轉、拉伸等之外，還允許進行切割和縫合。拓撲學家稱這個過程為“割補術”。典型的割補術包括從球面上割下一片或數片，對這些片進行扭曲、翻轉、拉伸或壓縮，然後把這些片重新縫到球面上。

分類定理告訴我們，任何可定向曲面與一個表面上縫合了一定數量“環柄”的球面拓撲等價。你可以通過在球面上切割出兩個洞，再用一根管子把它們連起來而得到一個環柄，如下圖左邊所示，任何不可定向曲面與縫合了一定數量“交叉套”的球面等價。你可以在球面上切割一個洞，再把一個默比烏斯帶縫在這個洞的邊緣上而得到一個交叉套，如下圖右邊所示。與克萊因瓶的情況一樣，在普通的三維空間中，不讓默比烏斯帶穿過自身是不能做成這件事的。

• 曲面分類定理說，任何光滑閉曲面與帶有一定數量環柄或交叉套的球面拓撲等價。

20世紀早期，龐加萊和其他數學家着手對曲面的高維類似物（他們稱為"流形"）進行分類。他們嘗試的方法類似于那種對二維曲面已經有效的方法。他們取一個球面的三維類似物（稱為“三維球面”）作為基礎，并估量任一三維流形與這三維球面（簡稱3-流形）的差異程度，以設法對所有三維流形進行分類。

注意，一個常規的曲面，如球面或環面，是一個二維對象。雖然這個曲面所包圍的部分是三維的，但這曲面本身是二維的。

除了平面之外，任何曲面隻能在三維或更高維的空間中構造。于是，任何閉曲面都需要三維或更高維的空間。例如，構造一個球面或一個環面就要取一個三維空間，構造一個克萊因瓶就要取一個四維空間。然而，一個球面、一個環面或一個克萊因瓶都是二維對象——一個沒有厚度的曲面，在原則上可以用一張平坦的具有極好彈性的薄片做成。

但是正如球面可以看作是圓（它是一種一維對象——曲線，處在二維空間中）的二維類似物（處在三維空間中），我們同樣可以設想球面的三維類似物（處在四維空間中）。當然，實際上我們設想不出。但是我們能寫出确定這樣一個對象的方程，并且在數學上研究它。其實，物理學家通常就是研究這種設想出來的對象，并運用這些結果幫助理解我們所在的宇宙。3-流形，即曲面的三維類似物（存在于四維或更高維的空間中），有時被稱為超曲面，而球面的三維類似物則被稱為超球面。

你可以寫出确定三維、四維、五維、六維或任何維的流形的方程。物理學家目前研究的關于物質的數學理論把我們所在的宇宙看作有11維。根據這些理論，我們直接覺察到的是這些維中的3個維。而其他的維則作為各種不同的物理特性（如電磁輻射和把原子結合在一起的力）把自己表現出來。

龐加萊試圖通過取各個維的“球面”作為一種基本圖形，然後應用割補術，來對三維和更高維的流形進行分類。在這種嘗試中，第一步自然是尋找一種簡單的拓撲性質，它可以告訴你什麼時候一個給定的（超）曲面與（超）球面拓撲等價。

記住，我們在這裡做的是拓撲學。甚至在常規二維曲面這種簡單的情況中，一個曲面可能表現得極其複雜，但結果仍然能通過連續變形變成一個球面。

在二維曲面的情況中，存在這樣的一個性質。假定你取一支鉛筆，在一個球面上畫出一個簡單的閉圈。現在想象這個圈收縮得越來越小，收縮時保持在球面上滑動。這個圈可以收縮到多小是否有個限度呢？顯然沒有。你可以把這個圈收縮得無法與點區别開來。從數學上說，你可以把它真的收縮成一個點。

如果你一開始是在一個環面上畫出一個圈，那麼不一定會發生同樣的事情。任意畫在一個曲面上的圈能收縮到一點的性質是一種隻有球面才具有的曲面拓撲性質。這就是說，如果有一個曲面，它上面的每一個圈（“每一個”在這裡很重要）都能不離開這曲面而收縮成一點，那麼這個曲面與球面拓撲等價。

對一個三維超球面，這一點同樣成立嗎？這是龐加萊在20世紀初提出的問題，這是他通向一個三維超曲面分類定理之路的第一步。他創立了一個系統的方法（稱為同倫論），來研究當一些圈在一個流形上移動和變形時這些圈會發生什麼情況。

事實上，情況并非如此。起初，龐加萊臆斷三維流形的圈收縮性質确實是三維球面的特征。然而，過了一段時間後，他意識到他的臆斷可能不成立。1904年，他把他的疑問發表，

考慮一個沒有邊界的三維緊流形V，即使V與三維球面不同胚，V的基本群是不是也可以是平凡的？

降維說就是，

一個具有圈收縮性質的三維流形是不是可能不與三維球面等價？

龐加萊猜想就此誕生！

1960年，美國數學家斯梅爾（Stephen Smale）證明了對所有五維和五維以上的流形，龐加萊猜想是正确的。這樣，如果一個五維或更高維的流形有這個性質，即畫在它上面的任何閉圈可以收縮成一點，則這個流形與同維的超球面是拓撲等價的。

遺憾的是，斯梅爾使用的方法不能運用到三維或四維流形，因此原初的龐加萊猜想仍然未能解決。後來，在1981年，另一個美國人弗裡德曼發現了一種方法，證明了關于四維流形的龐加萊猜想。

問題還沒有解決。龐加萊猜想已被證明對每一維都是正确的，除了三維。斯梅爾和弗裡德曼由于他們的成就，都獲得了菲爾茲獎。首先證明龐加萊猜想的這個唯一餘留情況的人無疑将獲得同樣的榮譽。

2003年，俄羅斯數學家格裡戈裡·佩雷爾曼證明了龐加萊猜想的三維情形，2006年，數學界最終确認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。

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